Cho hàm số \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), cạnh vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 378694:

Vận dụng

Cho hàm số \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(SA = 10,\) \(AB = 6,\) \(BC = 8\). Bán kính của mặt cầu \(SA\)ngoại tiếp hình chóp bằng

A. \(10\sqrt 3 \)

B. \(10\sqrt 2 \)

C. \(5\sqrt 2 \)

D. \(480\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378694

Phương pháp giải

Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng cách:

- Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

- Qua \(O\) dựng đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

- Dựng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì cắt đường thẳng \(d\) tại \(I\) thì \(I\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Suy ra bán kính của hình chóp \(R = IS = IA = IB = IC\).

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(I\) là trung điểm \(SC\).

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\(IO\) là đường trung bình trong tam giác \(SAC\) nên \(IO\parallel SA\) mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABC} \right)\).

\(IO\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và vuông góc với mp\(\left( {ABC} \right)\) nên \(IA = IB = IC\) (1)

Mặt khác tam giác \(SAC\) vuông tại \(A,\) có trung tuyến \(AI\) nên \(AI = \dfrac{1}{2}SC = SI = IC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(IA = IB = IC = IS\) do đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\)

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\)

\(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 \)

Suy ra \(R = IA = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}.10\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng \(5\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.