Cho \(x,y > 0\) thỏa mãn \({2019^{2\left( {{x^2} - y + 2} \right)}} - \dfrac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2}

Câu hỏi số 378700:

Vận dụng cao

Cho \(x,y > 0\) thỏa mãn \({2019^{2\left( {{x^2} - y + 2} \right)}} - \dfrac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = 2y - 4x\)

A. \(2018\)

B. \(2\)

C. \(2019\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:378700

Phương pháp giải

Đưa về hàm đặc trưng để giải bài toán.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

Ta có : \({2019^{2\left( {{x^2} - y + 2} \right)}} - \dfrac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {2019^{2\left( {{x^2} - y + 2} \right)}} = \dfrac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Nhận xét: \(\left\{ \begin{array}{l}{2019^{2\left( {{x^2} - y + 2} \right)}} \ge 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} > 0\end{array} \right.,\forall x \ne 2 \Rightarrow 4x + y + 2 \ge 0\).

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{2019^{2\left( {{x^2} - y + 2} \right)}} = \dfrac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow {2019^{2\left[ {\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - \left( {4x + y + 2} \right)} \right]}} = \dfrac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow {2019^{2{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 2\left( {4x + y + 2} \right)}} = \dfrac{{2\left( {4x + y + 2} \right)}}{{2{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{2019}^{2{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}}}{{{{2019}^{2\left( {4x + y + 2} \right)}}}} = \dfrac{{2\left( {4x + y + 2} \right)}}{{2{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x + 2} \right)^2}{.2019^{2{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 2\left( {4x + y + 2} \right){.2019^{2\left( {4x + y + 2} \right)}}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right) = t{.2019^t}\) với \(t \ge 0\) ta có :

\(f'\left( t \right) = {2019^t} + t{.2019^t}.\ln 2019 = {2019^t}\left( {1 + t.\ln 2019} \right) > 0,\forall t > 0\)

Do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Suy ra \(f\left( {{t_1}} \right) = f\left( {{t_2}} \right) \Leftrightarrow {t_1} = {t_2}\,\,\forall {t_1},{t_2} > 0\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{\left( {x + 2} \right)^2} = 2\left( {4x + y + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 4x + y + 2\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} + 2 = y\end{array}\)

Ta có : \(P = 2y - 4x = 2\left( {{x^2} + 2} \right) - 4x = 2{x^2} - 4x + 4 = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2,\forall x \ne 2\).

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\).

Vậy \({P_{\min }} = 2\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.