Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x - 3\). Hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị khi \(m \in \left( {\dfrac{a}{b};c} \right)\), (với \(a,\) \(b,\) \(c\) là các số nguyên và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(P = a + b + c\)

Câu 378701: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x - 3\). Hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị khi \(m \in \left( {\dfrac{a}{b};c} \right)\), (với \(a,\) \(b,\) \(c\) là các số nguyên và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(P = a + b + c\)

A. \(P = 9\)

B. \(P = 6\)

C. \(P = 7\)

D. \(P = 11\)

Câu hỏi : 378701

Phương pháp giải:

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:

- Bỏ đi phần đồ thị bên trái trục \(Oy\) rồi lấy đối xứng phần đồ thị bên phải qua trục \(Oy\) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta được đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\)

Như vậy để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) (với \(f\left( x \right)\) là hàm bậc 3) có 5 điểm cực trị thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải có 2 điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung.

Minh họa:

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung.

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + \left( {2 - m} \right)\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {2 - m} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 - 6 + 3m > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - m - 5 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {4m - 5} \right)\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{5}{4}\\m < - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Hai cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đều nằm bên phải trục tung khi và chỉ khi 2 nghiệm của phương trình

\(f'\left( x \right) = 0\) đều lớn hơn 0.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{3}\left( {2m - 1} \right) > 0\\\dfrac{{2 - m}}{3} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 > 0\\2 - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < 2\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{5}{4} < m < 2\) thì hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 5 điểm cực trị.

Do đó \(a = 5;\,\,b = 4;\,\,c = 2 \Rightarrow P = a + b + c = 11\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.