Cho ba số thực dương phân biệt \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Xét ba phương trình bậc

Câu hỏi số 379987:

Vận dụng

Cho ba số thực dương phân biệt \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\).

Xét ba phương trình bậc hai: \(4{x^2} + 4ac + b = 0\); \(4{x^2} + 4bx + c = 0;\) \(4{x^2} + 4cx + a = 0\).

Chứng minh rằng trong ba phương trình trên có ít nhất 1 phương trình có nghiệm và có ít nhất 1 phương trình vô nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:379987

Phương pháp giải

Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai \(\Delta \ge 0\).

Giải chi tiết

Đặt \({\Delta _1} = 4{a^2} - 4b;\,\,\,\,{\Delta _2} = 4{b^2} - 4c ;\,\,\,\,{\Delta _3} = 4{c^2} - 4a\) .

+ Giả sử cả 3 phương trình đã cho đều vô nghiệm \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} < 0\\{\Delta _2} < 0\\{\Delta _3} < 0\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} + {\Delta _3} < 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{a^2} - 4b + 4{b^2} - 4c + 4{c^2} - 4a < 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 4\left( {a + b + c} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 4.3 < 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} < 3\,\,\left( 1 \right)\end{array}\).

Mặt khác: \(a + b + c = 3\,\,\left( {gt} \right)\), áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = 3\) (Mâu thuẫn (1)).

\( \Rightarrow \) Giả sử sai.

Vậy có ít nhất 1 trong 3 phương trình có nghiệm.

+ Giả sử cả 3 phương trình đều có nghiệm \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} \ge 0\\{\Delta _2} \ge 0\\{\Delta _3} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} \ge b\\{b^2} \ge c\\{c^2} \ge a\end{array} \right.\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Vì \(a,\,\,b,\,\,c > 0\) nên từ (2) \( \Rightarrow {b^8} \ge {c^4} \ge {a^2} \ge b \Rightarrow {b^8} \ge b \Rightarrow b \ge 1.\)

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(a \ge 1,\,\,c \ge 1.\)

\( \Rightarrow a + b + c \ge 3\).

Mà \(a + b + c = 3\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(a = b = c = 1\) ( vô lý vì \(a,\,\,b,\,\,c\) phân biệt).

\( \Rightarrow \) Giả sử sai.

Vậy có ít nhất 1 trong 3 phương trình vô nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link