Cho phương trình \(\left( {2m + 1} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - \left( {3m - 1} \right)\sin 2x - 3m + 1 = 0\)(\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).

Câu 380172: Cho phương trình \(\left( {2m + 1} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - \left( {3m - 1} \right)\sin 2x - 3m + 1 = 0\)(\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).

A. 2

B. 4

C. 5

D. 3

Câu hỏi : 380172

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, tìm nghiệm phương trình bậc 2 rồi tìm m.

Đáp án : B
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có\(\left( {2m + 1} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - \left( {3m - 1} \right)\sin 2x - 3m + 1 = 0\,\,\left( * \right)\).

Đặt \(t = \sin 2x \Rightarrow - 1 \le t \le 1\left( {x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)} \right)\)

Khi đó phương trình (*) có dạng:

\(\begin{array}{l}\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - {t^2}} \right) - \left( {3m - 1} \right)t - 3m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right){t^2} + \left( {3m - 1} \right)t + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {\left( {2m + 1} \right)t + m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\\left( {2m + 1} \right)t + m - 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Nếu:\(t = - 1\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \sin 2x = - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \left( {k \in {\rm Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 3}}{4} < k < \dfrac{5}{4} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\end{array}\)

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \(\dfrac{{ - \pi }}{4};\dfrac{{3\pi }}{4}\)

+)\(\left( {2m + 1} \right)t = 2 - m\,\,\left( 1 \right)\).

Nếu \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};(1) \Rightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\)

\( \Rightarrow m \ne \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow t = \dfrac{{2 - m}}{{2m + 1}}\)

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thì

\(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{2 - m}}{{2m + 1}} = - 1\\t < - 1\\t > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\\dfrac{{m + 3}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\\\dfrac{{3m - 1}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{2} < m < \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow m = 0\end{array} \right.\)

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.