Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\,\left( {AB < AC} \right),\,\,D\) là trung điểm của cạnh

Câu hỏi số 380521:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\,\left( {AB < AC} \right),\,\,D\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Vẽ \(DE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E,\,\,DF\) vuông góc với tại \(F.\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(AEDF\) là hình chữ nhật và \(AD = EF.\)

b) Trên tia đối của tia \(FD\) lấy điểm \(H\) sao cho \(FH = FD.\) Chứng minh rằng tứ giác \(ADCH\) là hình thoi.

c) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AD,\,\,BH,\,\,EF\) đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380521

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật và tính chất của nó.

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi.

c) Sử dụng tính chất hình bình hành.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng tứ giác \(AEDF\) là hình chữ nhật và \(AD = EF.\)

Xét tứ giác \(AEDF\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle EAF = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\\\angle AED = {90^0}\,\,\left( {DE \bot AB = \left\{ E \right\}} \right)\\\angle AFD = {90^0}\,\,\,\,\left( {DF \bot AC = \left\{ F \right\}} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow AEDF\) là hình chữ nhật. (dhnb)

\( \Rightarrow AD = EF\) (hai đường chéo hình chữ nhật).

b) Trên tia đối của tia \(FD\) lấy điểm \(H\) sao cho \(FH = FD.\) Chứng minh rằng tứ giác \(ADCH\) là hình thoi.

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(D\) là trung điểm của \(BC\,\,\,\left( {gt} \right);\,\,\,DF//AB\) (do \(AEDF\) là hình chữ nhật).

\( \Rightarrow F\) là trung điểm của \(AC.\)

Ta có: \(FH = FD \Rightarrow F\) là trung điểm của \(DH.\)

Xét tứ giác \(ADCH\) ta có:

\(\begin{array}{l}AC \bot DH = \left\{ F \right\}\\AC \cap DH = \left\{ F \right\}\end{array}\)

\(F\) là trung điểm của \(HD\) và \(AC.\)

\( \Rightarrow ADCH\) là hình thoi. (dhnb).

c) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AD,\,\,BH,\,\,EF\) đồng quy.

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF.\)

\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AD\) và \(EF.\)

Ta có tứ giác \(ADCH\) là hình thoi (cmt)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DC//AH\\DC = AH\end{array} \right.\) (tính chất hình thoi).

Mà \(BD = DC\,\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow BD = AH\,\,\,\left( { = DC} \right).\)

Xét tứ giác \(ABDH\) ta có:

\(\begin{array}{l}AH//BD\,\,\,\,\left( {AH//DC} \right)\\AH = BD\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow ABDH\) là hình bình hành. (dhnb)

\( \Rightarrow AD\) cắt \(BH\) tại trung điểm của mỗi đường. (tính chất hbh).

Mà \(O\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow O \in BH.\)

\( \Rightarrow AD,\,\,EF,\,\,BH\) đồng quy tại \(O.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link