Tìm \(m\) sao cho phương trình sau có đúng \(2\) nghiệm : \(4{x^2} - 8x + 22 = 3m + 12\sqrt {2{x^2} - 4x + 6}

Câu hỏi số 380635:

Vận dụng cao

Tìm \(m\) sao cho phương trình sau có đúng \(2\) nghiệm :

\(4{x^2} - 8x + 22 = 3m + 12\sqrt {2{x^2} - 4x + 6} \)

A. \(\left[ \begin{array}{l}m > - 2\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\)

B. \( - \frac{8}{3} < m < - 2\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\)

D. \( - \frac{8}{3} < m < 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380635

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {2{x^2} - 4x + 6} \), tìm điều kiện của \(t\).

- Biến đổi phương trình về dạng \(3m = f\left( t \right)\) rồi dùng phương pháp hàm số tìm điều kiện của \(m\).

Giải chi tiết

Tìm \(m\) sao cho phương trình sau có đúng \(2\) nghiệm :\(4{x^2} - 8x + 22 = 3m + 12\sqrt {2{x^2} - 4x + 6} \)

Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} - 4x + 6} \ge 0\) ta có:

\(2{x^2} - 4x + 6 = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4\) \( = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\) \( \Rightarrow {t^2} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\)

Khi đó phương trình trở thành \(2{t^2} + 10 = 3m + 12t\) \( \Leftrightarrow 2{t^2} - 12t + 10 = 3m\,\left( 1 \right)\)

Ứng với mỗi một giá trị \(t > 2\) thì có hai giá trị của \(x\), do đó yêu cầu bài toán thỏa khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(t > 2\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^2} - 12t + 10\) với \(t \ge 2\).

Ta có: \( - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 12}}{{2.2}} = 3\), \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 8\).

Vì \(a = 2 > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\).

Bảng biến thiên:

Đường thẳng \(y = 3m\) đi qua điểm \(\left( {0;3m} \right)\) và song song hoặc trùng với trục hoành tại điểm \(\left( {0;3m} \right)\).

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(t > 2\) \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = 3m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( t \right)\) tại điểm duy nhất \(t > 2\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m > - 6\\3m = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > - 2\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m > - 2\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.