Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 1} \right),\,B\left( {4; - 3}

Câu hỏi số 380641:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 1} \right),\,B\left( {4; - 3} \right)\) và \(C\left( {5;5} \right).\)

1) Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và tính diện tích tam giác \(ABC.\)

2) Tìm điểm \(D\) trên trục hoành sao cho ba điểm \(A,\,B,\,D\) thẳng hàng.

3) Tìm điểm \(M\) trên đường thẳng \(d:y = 2x - 1\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380641

Phương pháp giải

1) Tích tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

2) Ba điểm \(A,B,D\) thẳng hàng nếu \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) cùng phương.

3) Gọi \(M\left( {a;2a - 1} \right) \in d\), tính \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) theo \(a\) và tìm GTNN.

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và tính diện tích tam giác \(ABC.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13} \)

\(\overrightarrow {AC} = \left( {4;6} \right)\) \( \Rightarrow AC = \sqrt {{4^2} + {6^2}} = 2\sqrt {13} \)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.4 - 2.6 = 0\) nên \(AB \bot AC\) hay \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\).

Diện tích \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC\) \( = \frac{1}{2}.\sqrt {13} .2\sqrt {13} = 13\).

2) Tìm điểm \(D\) trên trục hoành sao cho ba điểm \(A,\,B,\,D\) thẳng hàng.

Gọi \(D\left( {x;0} \right) \in Ox\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {x - 1;1} \right)\),\(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\)

\(A,B,D\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{3} = \frac{1}{{ - 2}}\) \( \Leftrightarrow - 2x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(D\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).

3) Tìm điểm \(M\) trên đường thẳng \(d:y = 2x - 1\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi \(M\left( {a;2a - 1} \right) \in d\) ta có:

\(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - a; - 2a} \right)\)

\( \Rightarrow M{A^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 2a} \right)^2}\) \( = 1 - 2a + {a^2} + 4{a^2}\) \( = 5{a^2} - 2a + 1\)

\(\overrightarrow {MB} = \left( {4 - a; - 2 - 2a} \right)\)

\( \Rightarrow M{B^2} = {\left( {4 - a} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2a} \right)^2}\) \( = 16 - 8a + {a^2} + 4 + 8a + 4{a^2}\) \( = 5{a^2} + 20\)

\(\overrightarrow {MC} = \left( {5 - a;6 - 2a} \right)\)

\( \Rightarrow M{C^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {6 - 2a} \right)^2}\) \( = 25 - 10a + {a^2} + 36 + 24a + 4{a^2}\)\( = 5{a^2} + 14a + 61\)

\( \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) \( = 5{a^2} - 2a + 1 + 5{a^2} + 20 + 5{a^2} + 14a + 61\) \( = 15{a^2} + 12a + 82\)

\( = 15\left( {{a^2} + \frac{4}{5}a + \frac{4}{{25}}} \right) + \frac{{398}}{5}\) \( = 15{\left( {a + \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{{398}}{5} \ge \frac{{398}}{5}\)

Do đó \({\left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}} \right)_{\min }} = \frac{{398}}{5}\) khi \(a + \frac{2}{5} = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{2}{5}\) \( \Rightarrow 2a - 1 = - \frac{9}{5}\)

Vậy \(M\left( { - \frac{2}{5}; - \frac{9}{5}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.