Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) (\(H\) thuộc \(BC\)). Gọi \(M\) là trung điểm

Câu hỏi số 381049:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) (\(H\) thuộc \(BC\)). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB.\) Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(M.\)

1) Chứng minh tứ giác \(AHBE\) là hình chữ nhật.

2) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH.\) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(EC.\)

3) Cho \(AH = 8cm;\,BC = 12cm.\) Tính diện tích tam giác \(AMH.\)

4) Trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(F.\) Kẻ \(HK \bot FC\) (\(K\) thuộc \(FC\)). Gọi \(I,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(HK,\,KC.\) Chứng minh rằng : \(BK \bot FI.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381049

Phương pháp giải

1) Sử dụng dấu hiệu nhận biết: “Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành” và “Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật”

2) Chứng minh \(AEHC\) là hình bình hành sau đó suy ra hai đường chéo \(AH,EC\) giao nhau tại trung điểm \(N\) của mỗi đường.

3) Tính diện tích tam giác \(ABH\), chứng minh \({S_{ABH}} = 2{S_{AMH}}\) từ đó ta tính được \({S_{AMH}}\)

4) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và quan hệ từ vuông góc đến song song

Giải chi tiết

1. Chứng minh \(AHBE\) là hình chữ nhật.

Xét tứ giác \(AHBE\) có

\(AB \cap EH = \left\{ M \right\}\)

\(M\) là trung điểm \(AB\) (giả thiết)

\(M\) là trung điểm \(EH\) (\(E\) đối xứng với \(H\) qua \(M\))

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AHBE\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \,\left( {AH \bot BC} \right)\)

\( \Rightarrow AHBE\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

2. Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(EC\)

Vì\(AHBE\) là hình chữ nhật (theo câu a)

\( \Rightarrow AE//BH;\,AE = BH\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)

\(AH\) là đường cao

\( \Rightarrow AH\) đồng thời là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) \( \Rightarrow HB = HC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow AE = HC;\,AE//HC \Rightarrow AEHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow \) Hai đường chéo \(AH\) và \(EC\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(N\) là trung điểm \(AH\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(EC\) (đpcm).

3. Cho \(AH = 8cm;\,BC = 12cm.\) Tính diện tích tam giác \(AMH.\)

Ta có \(HB = HC = \frac{{BC}}{2} = 6cm\)

Tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) nên \({S_{ABH}} = \frac{1}{2}AH.HB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24c{m^2}\)

Tam giác \(HAB\) và tam giác \(HMA\) có cùng chiều cao hạ từ đỉnh \(H\)và cạnh đáy \(AB\) gấp hai lần cạnh đáy \(MA\) nên \({S_{ABH}} = 2{S_{AMH}}\)

Suy ra \({S_{AMH}} = \frac{1}{2}{S_{ABH}} = \frac{1}{2}.24 = 12c{m^2}\)

Vậy \({S_{AMH}} = 12c{m^2}\)

4. Trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(F.\) Kẻ \(HK \bot FC\) (\(K\) thuộc \(FC\)). Gọi \(I,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(HK,\,KC.\) Chứng minh rằng : \(BK \bot FI.\)

Xét tam giác \(HKC\) có \(I,Q\) lần lượt là trung điểm cạnh \(HK,CQ\) nên \(IQ\) là đường trung bình \(\Delta HKC\)

\( \Rightarrow IQ//HC\) (tính chất)

Mà \(HC \bot HF\) \( \Rightarrow IQ \bot HF\)

Xét tam giác \(HFQ\) có \(IQ \bot HF\left( {cmt} \right),\,HK \bot FQ\left( {gt} \right)\) mà \(I \in HK \Rightarrow \)\(I\) là trực tâm của \(\Delta HFQ\)

\( \Rightarrow FI \bot HQ\)

Xét tam giác \(BCK\) có \(H,Q\) lần lượt là trung điểm cạnh \(BC,CQ\) nên \(HQ\) là đường trung bình \(\Delta BCK\)

\( \Rightarrow HQ//BK\) mà \(FI \bot HQ\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow BK \bot FI\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link