Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Câu hỏi số 381325:

Vận dụng

Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và cắt các cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt tại \(A',B',C'\). Tính diện tích của tam giác \(A'B'C'\) biết \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{1}{7}\)

A. \({S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\)

B. \({S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

C. \({S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\)

D. \({S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{48}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381325

Phương pháp giải

Sử dụng bài toán phụ :

Cho tứ diện \(S.ABC\) có các điểm \(M,N,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(SA,SB,SC\) thỏa mãn \(\dfrac{{SM}}{{SA}} = x,\dfrac{{SN}}{{SB}} = y,\dfrac{{SP}}{{SC}} = z\). Khi đó , \(\dfrac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SN}}{{SB}}.\dfrac{{SP}}{{SC}} = xyz\)

Giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và cắt các cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt tại \(A',B',C'\) nên có :

\(\dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)\( = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{C'A'}}{{CA}}\)

Ta có :

\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{1}{7} \Leftrightarrow \dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{1}{8}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}} = \dfrac{1}{8}\)\( \Rightarrow \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}\)

\({S_{A'B'C'}} = {\left( {\dfrac{{A'B'}}{{AB}}} \right)^2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\)

Tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(a\) nên \({S_{ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\)

\( \Rightarrow {S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{16}}{a^2}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.