Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(\Delta SAB\) cân tại \(S\)và nằm trong mặt

Câu hỏi số 381719:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(\Delta SAB\) cân tại \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên \(SC\) hợp với đáy góc \(30^\circ \) và \(SD = \sqrt 5 a\). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là:

A. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\)

B. \(\dfrac{{3\sqrt 5 {a^3}}}{2}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{4}\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt 5 {a^3}}}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381719

Phương pháp giải

Tìm chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mp\(\left( {ABCD} \right)\).

Xác định góc giữa \(SC\) và mặt phẳng đáy để tính chiều cao của khối chóp.

Tính cạnh hình vuông \(ABCD\)

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \dfrac{1}{3}h.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\)

Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB\\SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \) Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và \(CH\) nên \(\widehat {SCH} = 30^\circ \)

Ta có \(\tan SCH = \dfrac{{SH}}{{HC}} \Leftrightarrow \tan 30^\circ = \dfrac{{SH}}{{HC}} \Leftrightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}HC\)

Tam giác \(SHD\)vuông tại \(H\) có \(SD = \sqrt 5 a\) và \(HD = HC\) nên ta có :

\(\begin{array}{l}H{C^2} + S{H^2} = S{D^2}\\ \Leftrightarrow H{C^2} + {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}HC} \right)^2} = 5a\\ \Rightarrow HC = \dfrac{{\sqrt {15} }}{2}a \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}a\end{array}\)

\(ABCD\) là hình vuông nên ta có :

\(\begin{array}{l}B{C^2} + B{H^2} = H{C^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{4}B{C^2} = \dfrac{{15}}{4}{a^2}\\ \Rightarrow BC = \sqrt 3 a\end{array}\)

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.B{C^2} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}a.{\left( {\sqrt 3 a} \right)^2} = \dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.