Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi, tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(AC = 2a,\,\,BD = 4a\). Tính theo \(a\) khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SC\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng bằng cách tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow SI \bot AB\) (do tam giác \(SAB\) đều).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\).
+) Ta thấy \(AD\parallel BC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow d\left( {AD;SC} \right)\)
\( = d\left( {AD;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Mà \(AI \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{IB}} = 2\).
\[ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right)\]\( \Rightarrow d\left( {AD;SC} \right) = 2d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(IH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Trong \(\left( {SIH} \right)\) kẻ \(IK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot IH\\BC \bot SI\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow BC \bot IK\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot SH\\IK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right) = IK\).
Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có \(AC \bot BD\) tại \(O\) và \(O\) là trung điểm của \(AC,\,\,BD\).
+) Tam giác \(AOB\) vuông tại \(O\) có \(AO = \dfrac{{AC}}{2} = a;\,\,\,BO = \dfrac{{BD}}{2} = 2a\).
\( \Rightarrow AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 = BC\) (Định lí Pytago).
Ta có \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{1}{2}.2a.4a = 4{a^2}\).
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = 2{a^2}\)\( \Rightarrow {S_{IBC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = {a^2}\).
Mặt khác \({S_{IBC}} = \dfrac{1}{2}IH.BC \Rightarrow IH = \dfrac{{2{S_{IBC}}}}{{BC}}\)\( = \dfrac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
+) Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\sqrt 5 \)\( \Rightarrow SI = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 5 = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\).
+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SIH\) ta có:
\(IK = \dfrac{{SI.IH}}{{\sqrt {S{I^2} + I{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}} }}\)\( = \dfrac{{2a\sqrt {1365} }}{{91}}\).
Vậy \(d\left( {AD;SC} \right) = 2IK = \dfrac{{4a\sqrt {1365} }}{{91}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
