Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) thuộc cạnh SC sao cho \(SM
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) thuộc cạnh SC sao cho \(SM = 2MC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AM\) và song song \(BD\). Tính diện tích của thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Tìm thiết diện của hình chóp dựa vào yếu tố song song.
- Diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo.
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)
Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(SO \cap AM = G.\)
Qua \(G\) kẻ đường thẳng song song \(BD\) cắt \(SB,\,\,SD\) lần lượt tại \(H,\,\,K\).
Ta có: \( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SAC} \right) = HK\).
Khi đó thiết diện cần tìm là tứ giác \(AHMK\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow BD \bot AM\)
Do đó \(HK \bot AM\)\( \Rightarrow {S_{AHMK}} = \dfrac{{AM.HK}}{2}\)
Ta có \(HK\parallel BD\)\( \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{BD}} = \dfrac{{SG}}{{SO}}\)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SOC\) có cát tuyến \(AGM\) ta có: \(\dfrac{{AC}}{{AO}}.\dfrac{{GO}}{{GS}}.\dfrac{{MS}}{{MC}} = 1\).
Mà \(\dfrac{{AC}}{{AO}} = 2;\,\,\,\dfrac{{MS}}{{MC}} = 2\) \( \Rightarrow \dfrac{{GO}}{{GS}} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow \dfrac{{SG}}{{SO}} = \dfrac{4}{5}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{BD}} = \dfrac{4}{5}\). Mà \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow HK = \dfrac{{4a\sqrt 2 }}{5}.\)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(AMC\) với cát tuyến là \(OGS\): \(\dfrac{{OA}}{{OC}}.\dfrac{{SC}}{{SM}}.\dfrac{{GM}}{{GA}} = 1\).
Mà \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = 1;\,\,\dfrac{{SC}}{{SM}} = \dfrac{3}{2}\)\( \Rightarrow \dfrac{{GM}}{{GA}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{3}{5}.\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAO\) có:
\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vì \(\dfrac{{SG}}{{SO}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \dfrac{{OG}}{{SO}} = \dfrac{1}{5}\)\( \Rightarrow OG = \dfrac{1}{5}SO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{10}}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AGO\) có:
\(AG = \sqrt {G{O^2} + A{O^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{10}}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{5}\).
Khi đó \(AM = \dfrac{5}{3}AG = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{3}.\)
+) \({S_{AHMK}} = \dfrac{{AM.HK}}{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {13} }}{3}.\dfrac{{4a\sqrt 2 }}{5} = \dfrac{{2a\sqrt {26} }}{{15}}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
