Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) thuộc cạnh SC sao cho \(SM = 2MC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AM\) và song song \(BD\). Tính diện tích của thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Câu 381817: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) thuộc cạnh SC sao cho \(SM = 2MC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AM\) và song song \(BD\). Tính diện tích của thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\).

A. \(\dfrac{{4\sqrt {26} {a^2}}}{{15}}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{5}\).

C. \(\dfrac{{2\sqrt {26} {a^2}}}{{15}}\)

D. \(\dfrac{{2\sqrt 3 {a^2}}}{5}\).

Câu hỏi : 381817

Phương pháp giải:

- Tìm thiết diện của hình chóp dựa vào yếu tố song song.

- Diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(SO \cap AM = G.\)

Qua \(G\) kẻ đường thẳng song song \(BD\) cắt \(SB,\,\,SD\) lần lượt tại \(H,\,\,K\).

Ta có: \( \Rightarrow \left( P \right) \cap \left( {SAC} \right) = HK\).

Khi đó thiết diện cần tìm là tứ giác \(AHMK\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow BD \bot AM\)

Do đó \(HK \bot AM\)\( \Rightarrow {S_{AHMK}} = \dfrac{{AM.HK}}{2}\)

Ta có \(HK\parallel BD\)\( \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{BD}} = \dfrac{{SG}}{{SO}}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SOC\) có cát tuyến \(AGM\) ta có: \(\dfrac{{AC}}{{AO}}.\dfrac{{GO}}{{GS}}.\dfrac{{MS}}{{MC}} = 1\).

Mà \(\dfrac{{AC}}{{AO}} = 2;\,\,\,\dfrac{{MS}}{{MC}} = 2\) \( \Rightarrow \dfrac{{GO}}{{GS}} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow \dfrac{{SG}}{{SO}} = \dfrac{4}{5}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{BD}} = \dfrac{4}{5}\). Mà \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow HK = \dfrac{{4a\sqrt 2 }}{5}.\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(AMC\) với cát tuyến là \(OGS\): \(\dfrac{{OA}}{{OC}}.\dfrac{{SC}}{{SM}}.\dfrac{{GM}}{{GA}} = 1\).

Mà \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = 1;\,\,\dfrac{{SC}}{{SM}} = \dfrac{3}{2}\)\( \Rightarrow \dfrac{{GM}}{{GA}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{3}{5}.\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAO\) có:

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(\dfrac{{SG}}{{SO}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \dfrac{{OG}}{{SO}} = \dfrac{1}{5}\)\( \Rightarrow OG = \dfrac{1}{5}SO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{10}}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AGO\) có:

\(AG = \sqrt {G{O^2} + A{O^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{10}}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{5}\).

Khi đó \(AM = \dfrac{5}{3}AG = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{3}.\)

+) \({S_{AHMK}} = \dfrac{{AM.HK}}{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {13} }}{3}.\dfrac{{4a\sqrt 2 }}{5} = \dfrac{{2a\sqrt {26} }}{{15}}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.