Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \le

Câu hỏi số 381856:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\).

A. \(2\)

B. \(-2\)

C. \(1\)

D. \(-1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381856

Phương pháp giải

Xác định điểm rơi, dùng bất đẳng thức Cô-si rồi đánh giá.

Giải chi tiết

Ta có: \(P = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a \ge b \ge c\).

Áp dụng bất đẳng thực cô-si cho 3 số dương ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {c + 1} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\\\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {c + 1} \right)} \right)\left( {\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}}} \right) \ge 9\\ \Rightarrow a + b + c \ge 6\end{array}\)

Mặt khác xét:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} = \dfrac{a}{{{{\left( {\dfrac{b}{a}} \right)}^2} + \dfrac{b}{a} + 1}}\\ + ){\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} + \dfrac{b}{a} + 1 - 3 = \left( {\dfrac{b}{a} - 1} \right)\left( {\dfrac{b}{a} + 2} \right) \le 0\left( {do\dfrac{b}{a} \le 1} \right)\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} + \dfrac{b}{a} + 1 \le 3\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \dfrac{a}{3}\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} \ge \dfrac{b}{3}\\\dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \dfrac{c}{3}\end{array}\)

Do đó suy ra \(P \ge \dfrac{{a + b + c}}{3} \ge 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link