Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \le

Câu hỏi số 381856:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\).

A. \(2\)

B. \(-2\)

C. \(1\)

D. \(-1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381856

Phương pháp giải

Xác định điểm rơi, dùng bất đẳng thức Cô-si rồi đánh giá.

Giải chi tiết

Ta có: \(P = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a \ge b \ge c\).

Áp dụng bất đẳng thực cô-si cho 3 số dương ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {c + 1} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\\\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right) + \left( {c + 1} \right)} \right)\left( {\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} + \dfrac{1}{{c + 1}}} \right) \ge 9\\ \Rightarrow a + b + c \ge 6\end{array}\)

Mặt khác xét:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} = \dfrac{a}{{{{\left( {\dfrac{b}{a}} \right)}^2} + \dfrac{b}{a} + 1}}\\ + ){\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} + \dfrac{b}{a} + 1 - 3 = \left( {\dfrac{b}{a} - 1} \right)\left( {\dfrac{b}{a} + 2} \right) \le 0\left( {do\dfrac{b}{a} \le 1} \right)\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} + \dfrac{b}{a} + 1 \le 3\\ \Rightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge \dfrac{a}{3}\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} \ge \dfrac{b}{3}\\\dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \dfrac{c}{3}\end{array}\)

Do đó suy ra \(P \ge \dfrac{{a + b + c}}{3} \ge 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link