Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) sao cho \(OA = 3R\). Qua \(A\) kẻ tiếp tuyến

Câu hỏi số 381855:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) sao cho \(OA = 3R\). Qua \(A\) kẻ tiếp tuyến \(AB,AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\), vói \(B,C\) là hai tiếp điểm. Kẻ cát tuyến \(AMN\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(N\)). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA,BC\).

1. Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.

2. Chứng minh \(AM.AN = AH.AO\).

3. Chứng minh \(HB\) là đường phân giác \(\angle MHN\).

4. Gọi \(I,K\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(AB,AC\). Tìm giá trị lớn nhất của \(MI.MK\) khi cát tuyến \(AMN\) quay quanh \(A\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:381855

Phương pháp giải

1. Chứng minh tứ giác \(ABOC\) có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\).

2. Dùng tam giác đồng dạng và tính chất bắc cầu.

3. Dùng tam giác đồng dạng.

4. Dùng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) sao cho \(OA = 3R\). Qua \(A\) kẻ tiếp tuyến \(AB,AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\), vói \(B,C\) là hai tiếp điểm. Kẻ cát tuyến \(AMN\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(N\)). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA,BC\).

1. Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.

Ta có: \(\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ \)

Suy ra \(B\) thuộc đường tròn đường kính \(AO\)

\(C\) thuộc đường tròn đường kính \(AO\)

Do đó tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.

2. Chứng minh\(AM.AN = AH.AO\).

\(\angle BMN = \angle xBN\) (tính chất đường tròn)

\( \Rightarrow \angle AMB = \angle ABN\)

Suy ra \(\Delta AMB\) đồng dạng với \(\Delta ABN\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AN}}\\ \Rightarrow A{B^2} = AM.AN\end{array}\)

Mà \(A{B^2} = AH.AO\)

Suy ra \(AM.AN = AH.AO\).

3. Chứng minh \(HB\) là đường phân giác \(\angle MHN\).

Ta có: \(AM.AN = AH.AO \Leftrightarrow \dfrac{{AM}}{{AO}} = \dfrac{{AH}}{{AN}}\)

\( \Rightarrow \Delta AMH\) đồng dạng với \(\Delta AON\)

\( \Rightarrow \angle MHA = \angle ANO\)

Mặt khác: \(\Delta AMO\) đồng dạng với \(\Delta AHN\) \( \Rightarrow \angle AOM = \angle ANH\)

\( \Rightarrow \)Tứ giác \(MNOH\)nội tiếp \( \Rightarrow \angle NHO = \angle NMO\)

Mà \(\angle NMO = \angle ANO\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle MHA = \angle NHO\\ \Rightarrow \angle MHB = \angle NHB\end{array}\)

Suy ra đpcm

4. Gọi \(I,K\)lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(AB,AC\). Tìm giá trị lớn nhất của \(MI.MK\) khi cát tuyến \(AMN\) quay quanh \(A\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}MI.AB + MK.AC + MP.BC = AH.BC\\B{O^2} = OH.OA \Rightarrow OH = \dfrac{R}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH = \dfrac{8}{3}R\\MP = \dfrac{2}{3}R\\AB = AC = 2\sqrt 2 \\BH = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}R\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {MK + MI} \right).2\sqrt 2 = \dfrac{8}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow MK + MI = \dfrac{4}{3}R\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(MI.MK \le \dfrac{{{{\left( {MK + MI} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{4}{9}R\)

Dấu bằng xảy ra khi \(MI = MK\) hay \(M\) là giao điểm của \(AO\) với \(\left( O \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link