Cho chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc.

Câu hỏi số 382633:

Vận dụng cao

Cho chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một phần ba lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).

A. \(\sqrt {21} \)

B. \(\frac{5}{2}\)

C. \(\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\)

D. \(\frac{{21 + \sqrt 5 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,\,AB\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\) nên \(I\) là tâm của khối cầu.

Đặt \(MC = r;\,\,NB = R\),\(MN = h\). Kẻ \(CH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right)\).

Dễ dàng nhận thấy \(MNHC\) là hình chữ nhật nên \(CH = MN = h\), \(NH = MC = r\).

\( \Rightarrow HB = NB - NH = R - r\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BCH\) có:

\(B{C^2} = C{H^2} + H{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = {h^2} + {\left( {R - r} \right)^2}\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác, dựng \(IP \bot BC \Rightarrow IP = \frac{h}{2}\). Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(MC = CP = r,\,\,NB = BP = R\)\( \Rightarrow BC = R + r\).

Thay vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left( {R + r} \right)^2} = {h^2} + {\left( {R - r} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {R^2} + 2Rr + {r^2} = {h^2} + {R^2} - 2Rr + {r^2}\\ \Leftrightarrow 4Rr = {h^2}\end{array}\)

Ta có:

Thể tích khối nón cụt là \({V_1} = \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + {r^2} + Rr} \right)\).

Thể tích khối cầu là \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{h}{2}} \right)^3} = \frac{\pi }{6}{h^3}\).

Theo bài ra ta có \({V_1} = 3{V_2}\).

\( \Rightarrow \frac{1}{3}\pi h\left( {{R^2} + {r^2} + Rr} \right) = \frac{\pi }{2}{h^3}\)\( \Leftrightarrow 2\left( {{R^2} + {r^2} + Rr} \right) = 3{h^2}\).

Thay \({h^2} = 4Rr\) ta có: \(2\left( {{R^2} + {r^2} + Rr} \right) = 12Rr\)\( \Leftrightarrow {R^2} + {r^2} - 5Rr = 0\).

Chia cả 2 vế cho \({r^2}\) ta được: \({\left( {\frac{R}{r}} \right)^2} + 1 - 5\frac{R}{r} = 0 \Leftrightarrow \frac{R}{r} = \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:382633

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.