Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn: \(\int\limits_0^3

Câu hỏi số 382634:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn: \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 10\), \(f\left( 3 \right) = \cot 3\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\left[ {f\left( x \right){{\tan }^2}x + f'\left( x \right)\tan x} \right]dx} \).

A. \(1 - \ln \left( {\cot 3} \right)\)

B. \( - 1\)

C. \(1 - \cot 3\)

D. \( - 9\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:382634

Phương pháp giải

- Tính \(\left( {f\left( x \right)\tan x} \right)'\).

- Sử dụng định lí Newton-Leibniz : \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} = f\left( b \right) - f\left( a \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {f\left( x \right)\tan x} \right)' = f'\left( x \right)\tan x + f\left( x \right).\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = f'\left( x \right)\tan x + f\left( x \right)\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = f'\left( x \right)\tan x + f\left( x \right){\tan ^2}x + f\left( x \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right)\tan x + f\left( x \right){\tan ^2}x = \left( {f\left( x \right)\tan x} \right)' - f\left( x \right)\\ \Rightarrow I = \int\limits_0^3 {\left[ {f\left( x \right){{\tan }^2}x + f'\left( x \right)\tan x} \right]dx} \\ \Leftrightarrow I = \int\limits_0^3 {\left[ {\left( {f\left( x \right)\tan x} \right)' - f\left( x \right)} \right]dx} \\ \Leftrightarrow I = \int\limits_0^3 {\left[ {\left( {f\left( x \right)\tan x} \right)'} \right]dx} - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = f\left( 3 \right)\tan 3 - f\left( 0 \right)\tan 0 - 10\\ \Leftrightarrow I = \cot 3.\tan 3 - 0 - 10\\ \Leftrightarrow I = 1 - 10\\ \Leftrightarrow I = - 9\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.