Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(1\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 383506:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(1\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và tam giác \(SBD\) đều. biết khoảng cách giữa \(SO,\,\,CD\) bằng \(\dfrac{{\sqrt a }}{b}\) trong đó \(a,\,\,b\) là các số tự nhiên. Khi đó giá trị của \(a + b\) là:

A. \(12.\)

B. \(10.\)

C. \(15.\)

D. \(9.\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:383506

Phương pháp giải

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng này.

- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh.

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,\,BC\) ta có: \(HK\parallel CD\).

\( \Rightarrow d\left( {SO;CD} \right) = d\left( {CD;\left( {SHK} \right)} \right)\) \( = d\left( {C;\left( {SHK} \right)} \right)\).

Ta có: \(AC \cap \left( {SHK} \right) = O\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SHK} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SHK} \right)} \right)}} = \dfrac{{AO}}{{CO}} = 1\)\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SHK} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SHK} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(AI \bot SH\,\,\left( {I \in SH} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot AH\\HK \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow HK \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow HK \bot AI\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot KH\\AI \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SHK} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SHK} \right)} \right) = AI\)\( \Rightarrow d\left( {SO;CD} \right) = AI\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(1\) nên \(AC = BD = \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \) Tam giác \(SBD\) đều cạnh \(\sqrt 2 \) \( \Rightarrow SO = \dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.\)

Tam giác SAO vuông tại A có \(SO = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2};\,\,AO = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(SA = \sqrt {S{O^2} - A{O^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = 1\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAH\) có:

\(\begin{array}{l}AI = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{1.\dfrac{1}{2}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\\ \Rightarrow a = b = 5 \Rightarrow a + b = 10.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.