Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) để phương trình \( -

Câu hỏi số 383512:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn \(\left[ { - 2019;2019} \right]\) để phương trình

\( - {x^4} + 8{x^3} - 18{x^2} + 9x + 4 \) \(= \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {m - \left| x \right|} \right)\) có 4 nghiệm phân biệt ?

A. \(2019\)

B. \(2017\)

C. \(2015\)

D. \(2018\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:383512

Giải chi tiết

\( - {x^4} + 8{x^3} - 18{x^2} + 9x + 4 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {m - \left| x \right|} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)

Dễ thấy \(x = 1,\,\,2,\,\,3\) không phải là nghiệm của phương trình (1) nên ta có :

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left| x \right| - m = \dfrac{{{x^4} - 8{x^3} + 18{x^2} - 9x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \(\dfrac{{{x^4} - 8{x^3} + 18{x^2} - 9x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = x - 2 - \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{x - 3}}\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2;3} \right\}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| x \right| - m = x - 2 - \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{x - 3}}\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2;3} \right\}\\ \Leftrightarrow m = \left| x \right| - x + 2 + \dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 2}} + \dfrac{3}{{x - 3}}\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2;3} \right\}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| x \right| - x + 2 + \dfrac{1}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 2}} + \dfrac{3}{{x - 3}}\) \(\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{\left| x \right|}} - 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{x - \left| x \right|}}{{\left| x \right|}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2;3} \right\}\end{array}\)

Do \(\left| x \right| > x\,\,\forall x \Rightarrow x - \left| x \right| < 0\,\,\forall x\).

BBT:

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt.

Dựa vào BBT ta suy ra \(m > 2\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có : \(2 > m \le 2019,\,\,m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;...;2019} \right\}\).

Vậy có \(\left( {2019 - 3} \right):1 + 1 = 2017\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.