Cho hình chữ nhật ABCD, hai điểm K, P thuộc hai cạnh AD và BC sao cho tam giác DKP đều và có cạnh

Câu hỏi số 383988:

Vận dụng cao

Cho hình chữ nhật ABCD, hai điểm K, P thuộc hai cạnh AD và BC sao cho tam giác DKP đều và có cạnh \(18\,cm.\) Biết đường chéo BD đi qua trung điểm N của đoạn KP. Đường thẳng qua A song song với KP cắt BC tại M.

a) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

b) Chứng minh rằng tứ giác AKNM nội tiếp.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383988

Phương pháp giải

a) Sử dụng công thức lượng giác tìm các cạnh của hình chữ nhật.

b) Sử dụng định lý Ta-lét chứng minh tứ giác là hình thang cân, từ đó suy ra tứ giác nội tiếp.

Giải chi tiết

a) Tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD.\)

Theo đề bài ta có: \(N\) là trung điểm của \(KP\)

Mà \(\Delta DKP\) đều nên \(DN \bot KP.\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow DN = KD\sin \angle DKN = 18\sin 60^\circ = 9\sqrt 3 \,\,\,\left( {cm} \right).\)

Dễ thấy \(\Delta KND = \Delta PNB\,\,\,\,\left( {cgv - gn} \right)\)

\( \Rightarrow NB = ND = 9\sqrt 3 \)\( \Rightarrow BD = 18\sqrt 3 \,\left( {cm} \right).\)

\(AD = BD\cos ADB = 18\sqrt 3 \cos 30^\circ = 27\,\left( {cm} \right).\)

\(AB = BD\sin ADB = 18\sqrt 3 \sin 30^\circ = 9\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right).\)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \(AB.AD = 9\sqrt 3 .27 = 243\sqrt 3 \,\left( {c{m^2}} \right).\)

b) Chứng minh rằng tứ giác \(AKNM\) nội tiếp.

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AM\) và \(BD.\)

Theo định lý Ta-lét ta có: \(\frac{{MP}}{{BP}} = \frac{{EN}}{{BN}}\)\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{BP}} = \frac{{EN}}{{DN}} = \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{27 - 18}}{{18}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow M\)là trung điểm \(BP \Rightarrow MB = MN\).

Vậy \(\Delta BMN\) cân tại \(M.\)

Lại có: \(ME \bot BN\,\,\,\left( {ME\,{\rm{//}}\,KP} \right) \Rightarrow ME\) cũng là phân giác của \(\angle BMN\)

\( \Rightarrow \angle NME = \angle BME\) mà \(\angle BME = \angle KAM\) (so le trong) \( \Rightarrow \angle NME = \angle KAM\).

Lại có \(AM\,{\rm{//}}\,KN\) nên \(AKNM\) là hình thang cân

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AKNM\) là tứ giác nội tiếp.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link