Hai vật M và N theo thứ tự dao động điều hòa theo hai phương Ox, Oy vuông góc với nhau, có cùng

Câu hỏi số 385241:

Vận dụng cao

Hai vật M và N theo thứ tự dao động điều hòa theo hai phương Ox, Oy vuông góc với nhau, có cùng vị trí cân bằng O. Phương trình dao động của M và N lần lượt là \({x_M} = A\cos \left( {\omega t + {\varphi _1}} \right)\); \({y_N} = A\sqrt 3 \cos \left( {\omega t + {\varphi _2}} \right)\). Tại thời điểm t₁ vật M có li độ 1 cm. Tại thời điểm \({t_2} = {t_1} + \dfrac{\pi }{{2\omega }}\) vật N có li độ 2 cm. Biết tại mọi thời điểm ta luôn có mối liên hệ giữa li độ và vận tốc của hai vật là \({x_M}{v_M} + {y_N}{v_N} = 0\). Khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm t₁ có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 3,1 cm

B. 1,2 cm

C. 6,2 cm

D. 2,5 cm

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385241

Phương pháp giải

Công thức đạo hàm của hàm hợp: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)

Công thức độc lập với thời gian: \({v^2} = {\omega ^2}\left( {{A^2} - {x^2}} \right)\)

Li độ của vật tại hai thời điểm cách nhau \(\dfrac{T}{4}\): \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {A^2}\)

Khoảng cách giữa hai vật: \(d = \sqrt {{x_M}^2 + {y_N}^2} \)

Giải chi tiết

Ta có: \({x_M}{v_M} + {y_N}{v_N} = 0\)

Đạo hàm hai vế của biểu thức, ta có:

\(\begin{array}{l}{v_M}^2 + {x_M}{a_M} + {v_N}^2 + {y_N}{a_N} = 0\\ \Rightarrow {\omega ^2}\left( {{A_M}^2 - {x_M}^2} \right) + {x_M}\left( { - {\omega ^2}{x_M}} \right) + {\omega ^2}\left( {{A_N}^2 - {x_N}^2} \right) + {y_N}\left( { - {\omega ^2}{y_N}} \right) = 0\\ \Rightarrow {x_M}^2 + {y_N}^2 = \dfrac{{{A_M}^2 + {A_N}^2}}{2} = \dfrac{{{A^2} + {{\left( {A\sqrt 3 } \right)}^2}}}{2} = 2{A^2}\end{array}\)

Hệ thức này luôn đúng tại mọi thời điểm, vậy khoảng cách giữa hai vật:

\(d = \sqrt {{x_M}^2 + {y_N}^2} = A\sqrt 2 = const\)

Ở thời điểm t₁, ta có: \({x_M} = 1 \Rightarrow {1^2} + {y_N}^2 = 2{A^2} \Rightarrow {y_N} = \sqrt {2{A^2} - 1} \)

Ở thời điểm \({t_2} = {t_1} + \dfrac{\pi }{{2\omega }} \Rightarrow {t_2} - {t_1} = \dfrac{\pi }{{2\omega }} = \dfrac{\pi }{{2\dfrac{{2\pi }}{T}}} = \dfrac{T}{4}\), ta có:

\({y_{1N}}^2 + {y_{2N}}^2 = {A_N}^2 \Rightarrow {\left( {\sqrt {2{A^2} - 1} } \right)^2} + {2^2} = {\left( {A\sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow A = \sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\)

Khoảng cách giữa hai vật là: \(d = A\sqrt 2 = \sqrt 3 .\sqrt 2 = \sqrt 6 = 2,449\,\,\left( {cm} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.