Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AA' = a\). Tính khoảng cách \(d\) giữa hai đường

Câu hỏi số 386421:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AA' = a\). Tính khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(AC\).

A. \(d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}\)

B. \(d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

C. \(d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

D. \(d = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:386421

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Giải bất phương trình \(y' < 0\) và kết luận các khoảng nghịch biến của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có \(AC\parallel A'C'\), do đó \(AC\parallel \left( {A'BC'} \right) \supset BC'\).

Suy ra \(d\left( {BC';AC} \right) = d\left( {AC;\left( {A'BC'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A'BC'} \right)} \right)\).

Gọi \(O = AB' \cap A'B\) ta có: \(\dfrac{{d\left( {A;\left( {A'BC'} \right)} \right)}}{{d\left( {B';\left( {A'BC'} \right)} \right)}} = \dfrac{{AO}}{{B'O}} = 1\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {A'BC'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {A'BC'} \right)} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A'C'\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'C' \bot B'M\\A'C' \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow A'C' \bot \left( {BB'M} \right)\).

Trong \(\left( {BB'M} \right)\) kẻ \(B'H \bot BM\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'H \bot BM\\B'H \bot A'C'\,\,\left( {A'C' \bot \left( {BB'M} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B'H \bot \left( {A'BC'} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {B';\left( {A'BC'} \right)} \right) = B'H\).

Tam giác \(A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(B'M = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BB'M\) ta có:

\(B'H = \dfrac{{BB'.B'M}}{{\sqrt {BB{'^2} + B'{M^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {B';\left( {A'BC'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.