Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\dfrac{z}{{z -

Câu hỏi số 386674:

Vận dụng

Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\dfrac{z}{{z - 1}}\) là số thuần ảo là:

A. Đường tròn tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{4}.\)

B. Đường tròn tâm \(I\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{2}\) trừ điểm \(A\left( {1;\,\,0} \right).\)

C. Đường tròn tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{2}.\)

D. Đường tròn tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{2}\) trừ điểm \(A\left( {1;\,\,0} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:386674

Phương pháp giải

Cho số phức \(z = x + yi\;\;\left( {x,\;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {x;\;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z.\)

Giải chi tiết

Gọi số phức \(z = x + yi\,\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{z}{{z - 1}} = \dfrac{{x + yi}}{{x + yi - 1}} = \dfrac{{x + yi}}{{\left( {x - 1} \right) + yi}}\\ = \dfrac{{\left( {x + yi} \right)\left[ {\left( {x - 1} \right) - yi} \right]}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {yi} \right)}^2}}} = \dfrac{{x\left( {x - 1} \right) + {y^2} + \left( { - xy + xy - y} \right)i}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} - x + {y^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}} - \dfrac{{yi}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}}}.\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{z}{{z - 1}}\) là số thuần ảo

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + {y^2} = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + {y^2} - \dfrac{1}{4} = 0\\x - 1 \ne 0\\y \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{1}{4}\\x \ne 1\\y \ne 0\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầy bài toán là đường tròn tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\,\,0} \right)\) bán kính \(\dfrac{1}{2}\) trừ điểm \(A\left( {1;\,\,0} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.