Cho \(A = \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{2}{{{5^3}}} + \dfrac{3}{{{5^4}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^{n + 1}}}} +

Câu hỏi số 386911:

Vận dụng cao

Cho \(A = \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{2}{{{5^3}}} + \dfrac{3}{{{5^4}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^{n + 1}}}} + \ldots + \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}\) với \(n \in \mathbb{N}\). So sánh \(A\) và \(\dfrac{1}{{16}} \cdot \)

A. \(A > \dfrac{1}{{16}}\)

B. \(A < \dfrac{1}{{16}}\)

C. \(A = \dfrac{1}{{16}}\)

D. Không có đáp án

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386911

Phương pháp giải

Tính tổng \(A\)

Bước 1: Mẫu là lũy thừa cơ số \(5\) nên để tính tổng \(A\) ta nhân cả hai vế với \(5\).

Bước 2: Lấy \(5A - A\) Suy ra tổng \(A\).

Bước 3: Viết \(A = \dfrac{1}{{16}} \cdot a\) với \(a \ne 0\). Nếu \(a < 1\) thì \(A < \dfrac{1}{{16}}\) và ngược lại.

Giải chi tiết

\(A = \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{2}{{{5^3}}} + \dfrac{3}{{{5^4}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^{n + 1}}}} + \ldots + \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}\)

\( \Rightarrow 5A = 5 \cdot \left( {\dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{2}{{{5^3}}} + \dfrac{3}{{{5^4}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^{n + 1}}}} + \ldots + \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}} \right)\)\( = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{{{5^2}}} + \dfrac{3}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{{11}}{{{5^{11}}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5A = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{{{5^2}}} + \dfrac{3}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{{11}}{{{5^{11}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,A = \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{2}{{{5^3}}} + \dfrac{3}{{{5^4}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^{n + 1}}}} + \ldots + \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}\\ \Rightarrow 5A - A = \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{{{5^2}}} + \dfrac{3}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{{11}}{{{5^{11}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{2}{{{5^3}}} + \dfrac{3}{{{5^4}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^{n + 1}}}} + \ldots + \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{{{5^2}}} + \dfrac{3}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{n}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{{11}}{{{5^{11}}}} - \dfrac{1}{{{5^2}}} - \dfrac{2}{{{5^3}}} - \dfrac{3}{{{5^4}}} - \ldots - \dfrac{n}{{{5^{n + 1}}}} - \ldots - \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{5} + \left( {\dfrac{2}{{{5^2}}} - \dfrac{1}{{{5^2}}}} \right) + \left( {\dfrac{3}{{{5^3}}} - \dfrac{2}{{{5^3}}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{n}{{{5^n}}} - \dfrac{{n - 1}}{{{5^n}}}} \right) + \ldots + \left( {\dfrac{{11}}{{{5^{11}}}} - \dfrac{{10}}{{{5^{11}}}}} \right) - \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{11}}}} - \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow 4A = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{11}}}} - \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}\)

\( \Rightarrow 4A = \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{11}}}}} \right) - \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}\)

Đặt \(B = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{11}}}}\).

Biểu thức \(A\) trở thành: \(4A = B - \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}}\)

Tính tổng: \(B = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{11}}}}\)

\( \Rightarrow 5B = 5 \cdot \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{11}}}}} \right)\)

\( \Rightarrow 5B = 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{10}}}}\)

\(5B - B = \left( {1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{10}}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{11}}}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4B = 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{1}{{{5^3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^n}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{5^{10}}}} - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{{{5^2}}} - \dfrac{1}{{{5^3}}} - \ldots - \dfrac{1}{{{5^n}}} - \ldots - \dfrac{1}{{{5^{11}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{{{5^{11}}}} = \dfrac{{{5^{11}} - 1}}{{{5^{11}}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow B = \dfrac{{{5^{11}} - 1}}{{{{4.5}^{11}}}}\)

Thay \(B = \dfrac{{{5^{11}} - 1}}{{{{4.5}^{11}}}}\) vào biểu thức \(A\) ta được:

\(\begin{array}{l}4A = \dfrac{{{5^{11}} - 1}}{{{{4.5}^{11}}}} - \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}} = \dfrac{{5\left( {{5^{11}} - 1} \right)}}{{{{4.5}^{12}}}} - \dfrac{{44}}{{{{4.5}^{12}}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{5^{12}} - 5 - 44}}{{{{4.5}^{12}}}} = \dfrac{{{5^{12}} - 49}}{{{{4.5}^{12}}}}.\end{array}\)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{{5^{12}} - 49}}{{{{16.5}^{12}}}} = \dfrac{1}{{16}} \cdot \dfrac{{{5^{12}} - 49}}{{{5^{12}}}}\)\( = \dfrac{1}{{16}} \cdot \left( {\dfrac{{{5^{12}}}}{{{5^{12}}}} - \dfrac{{49}}{{{5^{12}}}}} \right) = \dfrac{1}{{16}} \cdot \left( {1 - \dfrac{{49}}{{{5^{12}}}}} \right)\)

Vì \(1 - \dfrac{{49}}{{{5^{12}}}} < 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{16}} \cdot \left( {1 - \dfrac{{49}}{{{5^{12}}}}} \right) < \dfrac{1}{{16}} \Rightarrow A < \dfrac{1}{{16}}\)

Vậy \(A < \dfrac{1}{{16}} \cdot \)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link