So sánh \(A = \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \dfrac{1}{{103}} + \ldots + \dfrac{1}{{199}} +

Câu hỏi số 386910:

Vận dụng cao

So sánh \(A = \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \dfrac{1}{{103}} + \ldots + \dfrac{1}{{199}} + \dfrac{1}{{200}}\) và \(\dfrac{7}{{12}}\)

A. \(A > \dfrac{7}{{12}}\)

B. \(A < \dfrac{7}{{12}}\)

C. \(A = \dfrac{7}{{12}}\)

D. Không có đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386910

Phương pháp giải

\(\dfrac{7}{{12}} = \dfrac{{3 + 4}}{{12}} = \dfrac{3}{{12}} + \dfrac{4}{{12}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}\)

Từ \(101\) đến \(200\) có \(200\) số nên ta có thể tách tổng \(A\) thành hai nhóm, mỗi nhóm có \(50\) phân số, rồi hay mỗi phân số ấy bằng phân số nhỏ nhất.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \dfrac{1}{{103}} + \ldots + \dfrac{1}{{199}} + \dfrac{1}{{200}}\\ = \left( {\dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \ldots + \dfrac{1}{{150}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{151}} + \dfrac{1}{{152}} + \ldots + \dfrac{1}{{200}}} \right)\end{array}\)

+) Xét tổng \(\dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \ldots \dfrac{1}{{149}} + \dfrac{1}{{150}}\)

\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{1}{{101}} > \dfrac{1}{{150}}\\\dfrac{1}{{102}} > \dfrac{1}{{150}}\\ \ldots \\\dfrac{1}{{149}} > \dfrac{1}{{150}}\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \ldots \dfrac{1}{{149}} > \dfrac{1}{{150}} + \dfrac{1}{{150}} + \ldots + \dfrac{1}{{150}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \ldots \dfrac{1}{{149}} + \dfrac{1}{{150}} > \dfrac{1}{{150}} + \dfrac{1}{{150}} + \ldots + \dfrac{1}{{150}} + \dfrac{1}{{150}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \ldots \dfrac{1}{{149}} + \dfrac{1}{{150}} > \dfrac{{50}}{{150}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \ldots \dfrac{1}{{149}} + \dfrac{1}{{150}} > \dfrac{1}{3}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Xét tổng \(\dfrac{1}{{151}} + \dfrac{1}{{152}} + \ldots + \dfrac{1}{{200}}\)

\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{1}{{151}} > \dfrac{1}{{200}}\\\dfrac{1}{{152}} > \dfrac{1}{{200}}\\ \ldots \\\dfrac{1}{{199}} > \dfrac{1}{{200}}\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{1}{{151}} + \dfrac{1}{{152}} + \ldots + \dfrac{1}{{199}} > \dfrac{1}{{200}} + \dfrac{1}{{200}} + \ldots + \dfrac{1}{{200}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{151}} + \dfrac{1}{{152}} + \ldots + \dfrac{1}{{199}} + \dfrac{1}{{200}} > \dfrac{1}{{200}} + \dfrac{1}{{200}} + \ldots + \dfrac{1}{{200}} + \dfrac{1}{{200}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{151}} + \dfrac{1}{{152}} + \ldots + \dfrac{1}{{199}} + \dfrac{1}{{200}} > \dfrac{{50}}{{200}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{151}} + \dfrac{1}{{152}} + \ldots + \dfrac{1}{{199}} + \dfrac{1}{{200}} > \dfrac{1}{4}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(A = \left( {\dfrac{1}{{101}} + \dfrac{1}{{102}} + \ldots + \dfrac{1}{{150}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{151}} + \dfrac{1}{{152}} + \ldots + \dfrac{1}{{200}}} \right) > \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{{12}} + \dfrac{3}{{12}} = \dfrac{7}{{12}}\)

Vậy \(A > \dfrac{7}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link