Biết rằng phương trình \({2^x} + m{.2^{ - x}} = 6\) (\(m\) là tham số) có hai nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 387057:

Vận dụng

Biết rằng phương trình \({2^x} + m{.2^{ - x}} = 6\) (\(m\) là tham số) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + {x_2} = \sqrt 2 .\) Tìm mệnh đề đúng.

A. \(m \in \left( {5;\,\,8} \right)\)

B. \(m \in \left( {0;\,\,2} \right)\)

C. \(m \in \left( {3;\,\,4} \right)\)

D. \(m \in \left( {2;\,\,3} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:387057

Phương pháp giải

Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ và sử dụng định lý Vi-et.

Giải chi tiết

Ta có: \({2^x} + m{.2^{ - x}} = 6 \Leftrightarrow {2^x} + \dfrac{m}{{{2^x}}} - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} - {6.2^x} + m = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \({2^x} = t\,\,\,\left( {t > 0} \right).\) Khi đó ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 6t + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(t\) dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - m > 0\\6 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 9.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 6\\{t_1}{t_2} = m\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {2^{{x_1}}}{.2^{{x_2}}} = m \Leftrightarrow {2^{{x_1} + {x_2}}} = m \Leftrightarrow m = {2^{\sqrt 2 }}.\\ \Rightarrow m \in \left( {2;\,\,3} \right).\end{array}\)

Chọn D.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.