Cho hình chóp có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB = 3\), \(AC = 2\) và \(\angle BAC = {60^0}\). Gọi

Câu hỏi số 388275:

Vận dụng

Cho hình chóp có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB = 3\), \(AC = 2\) và \(\angle BAC = {60^0}\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB,\,\,SC\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp chóp \(ABCNM\).

A. \(R = \sqrt 2 \)

B. \(R = \dfrac{{\sqrt {21} }}{3}\)

C. \(R = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\)

D. \(R = 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:388275

Phương pháp giải

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), chứng minh \(OA = OB = OC = OM = ON\).

Giải chi tiết

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\) và \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) nên \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABM\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OE \bot AB\\OE \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow OE \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow OE \bot \left( {ABM} \right)\).

Do đó \(OA = OB = OM\).

Chứng minh tương tự ta có \(OA = OC = ON\).

Lại có \(OA = OB = OC\) nên \(OA = OB = OC = OM = ON\).

Do đó \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện \(ABCNM\), và bán kính mặt cầu là \(R = OA\), cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC\) \( = \dfrac{1}{2}.3.2.\sin {60^0} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định lí cosin trong tam giác giác \(ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC\\B{C^2} = {3^2} + {2^2} - 2.3.2.\cos {60^0}\\B{C^2} = 7\\ \Rightarrow BC = \sqrt 7 \end{array}\)

Vậy \(R = OA = \dfrac{{AB.BC.AC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}}\) \( = \dfrac{{3.2.\sqrt 7 }}{{4.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.