Cho hàm số \(f\left( x \right) = \log x + {3^x} - {3^{\frac{1}{x}}}\). Tổng bình phương tất cả các giá
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \log x + {3^x} - {3^{\frac{1}{x}}}\). Tổng bình phương tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\frac{1}{{2\left| {x - m} \right| + 1}}} \right) + f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = 0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Chứng minh hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Xét hàm số \(f\left( {\frac{1}{x}} \right)\) và chứng minh \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) = - f\left( x \right).\)
Từ đó suy ra \(f\left( {\frac{1}{{2\left| {x - m} \right| + 1}}} \right) + f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2\left| {x - m} \right| + 1 = {x^2} - 2x + 2.\)
Từ đó biện luận số nghiệm của phương trình và tìm \(m.\)
Điều kiện: \(x > 0.\)
Ta có: \(f\left( x \right) = \log x + {3^x} - {3^{\frac{1}{x}}}\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 10}} + {3^x}\ln 3 + \frac{1}{{{x^2}}}{.3^{\frac{1}{x}}}.\ln 3 > 0\,\,\,\forall x > 0\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \log x + {3^x} - {3^{\frac{1}{x}}}\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Xét hàm số: \(f\left( {\frac{1}{x}} \right) = - \log x - {3^x} + {3^{\frac{1}{x}}} = - f\left( x \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{2\left| {x - m} \right| + 1}}} \right) + f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow f\left( {\frac{1}{{2\left| {x - m} \right| + 1}}} \right) = - f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\\ \Rightarrow 2\left| {x - m} \right| + 1 = {x^2} - 2x + 2\,\,\,\,\,\left( * \right)\\ + )\,\,\,\,x > m\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {x - m} \right) + 1 = {x^2} - 2x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = - 2m\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(y = {x^2} - 4x + 1 \Rightarrow y' = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Ta có bảng biến thiên:
\(\begin{array}{l} + )\,\,\,x \le m\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {m - x} \right) + 1 = {x^2} - 2x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 2m \ge 1 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{2}\end{array}\)
Xét hàm số \(y = {x^2} + 1 \Rightarrow y' = 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có bảng biến thiên:
Dựa và BBT, ta thấy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m > - 3\\ - 2m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m < - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 2m = - 3\\m > \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\\\left\{ \begin{array}{l} - 2m > - 3\\2m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow S = \frac{5}{2}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
