Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Hàm số \(y =

Câu hỏi số 389259:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình \(f\left( x \right) > {e^{\cos x}} + m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) khi và chỉ khi

A. \(m \le f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 1.\)

B. \(m < f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 1.\)

C. \(m \ge f\left( 0 \right) - e.\)

D. \(m \le f\left( 0 \right) - e.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389259

Phương pháp giải

Ta có: \(f\left( x \right) > {e^{\cos x}} + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - {e^{\cos x}} > m\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow m < \mathop {Max}\limits_{\left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)} \left[ {f\left( x \right) - {e^{\cos x}}} \right].\)

Khi đó dựa vào BBT để tìm \(\mathop {Max}\limits_{\left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)} \left[ {f\left( x \right) - {e^{\cos x}}} \right].\)

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) > {e^{\cos x}} + m \Leftrightarrow m < f\left( x \right) - {e^{\cos x}}\)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow m < \mathop {Max}\limits_{\left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)} \left[ {f\left( x \right) - {e^{\cos x}}} \right]\)

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^{\cos x}} \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + \sin x.{e^{\cos x}}\)

Theo BBT ta có: \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) > 0;\,\,\,\,\sin x.{e^{\cos x}} > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^{\cos x}}\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)} g\left( x \right) = g\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - {e^{\cos \frac{\pi }{2}}} = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 1.\\ \Rightarrow m < f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 1.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.