Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(2a\). Hình chiếu của \(S\)

Câu hỏi số 389701:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(2a\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt đáy là trung điểm của \(H\) của \(OA\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\)

A. \(a\sqrt 6 \).

B. \(\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

C. \(\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).

D. \(a\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389701

Phương pháp giải

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng chứa đường thẳng kia và vuông góc với đường thẳng này.

- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh, đổi về tính khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt phẳng.

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\): Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Áp dụng định lí Ta-lét và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Ta có: \(SC \subset \left( {SCD} \right)\), lại có \(AB\parallel CD \Rightarrow AB\parallel \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {AB;SC} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Ta có: \(AH \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{HC}} = \dfrac{4}{3}\).

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Kẻ \(HI \bot CD\,\,\left( {I \in CD} \right),\,\,HK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\HI \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow CD \bot SI\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SI \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HI \bot CD\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SIH = {45^0}\)

Lại có: \(CD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow CD \bot HK\), \(HK \bot SI\) nên \(HK \bot \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\)\( \Rightarrow d\left( {AB;SC} \right) = \dfrac{4}{3}HK.\)

* Tính \(HK\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HI}}{{AD}} = \dfrac{{HC}}{{AC}} = \dfrac{3}{4}\) \( \Rightarrow HI = \dfrac{3}{4}AD = \dfrac{{3a}}{2}\).

Xét tam giác \(HKI\) vuông tại \(K\), \(\angle SIH = {45^0} \Rightarrow \Delta HKI\) vuông cân tại \(K\).

\( \Rightarrow HK = HI.\sin {45^0} = \dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy \(d\left( {AB;SC} \right) = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4} = a\sqrt 2 .\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.