Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SC \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thoi có cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) và \(\angle ABC = {120^0}\). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

Câu 389745: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SC \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thoi có cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) và \(\angle ABC = {120^0}\). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(V = {a^3}\sqrt 3 \).

B. \(V = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).

C. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{4}\).

D. \(V = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{8}\).

Câu hỏi : 389745

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\): góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông tính chiều cao của khối chóp.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Vì \(ABCD\) là hình thoi có cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) và \(\widehat {ABC} = {120^0}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = AD\\\angle BAD = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2.{S_{ABD}} = 2.\dfrac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Kẻ \(CM \bot AB\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CM\\AB \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SCM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SM \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset CM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;CM} \right) = \angle SMC\)

\( \Rightarrow \angle SMC = {45^0} \Rightarrow \Delta SMC\) vuông cân tại \(C\).

Ta có: \(\angle ABC = {120^0} \Rightarrow \angle CBM = {60^0}\) (kề bù)\( \Rightarrow CM = BC.\sin {60^0} = a\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{3}{2}a.\)

\( \Rightarrow SC = MC = \dfrac{3}{2}a\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SC.{S_{ABCD}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}a.\dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.