Cho phương trình \(3125\left( {5\cos x + 5 + m} \right) = {\left( {{{\left( {\cos x + 1} \right)}^5} - m} \right)^5}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để phương trình trên có nghiệm thực?
Câu 389746: Cho phương trình \(3125\left( {5\cos x + 5 + m} \right) = {\left( {{{\left( {\cos x + 1} \right)}^5} - m} \right)^5}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để phương trình trên có nghiệm thực?
A. \(27\).
B. \(22\).
C. \(4\).
D. \(9\).
Sử dụng tính đơn điệu để đánh giá.
-
Đáp án : C(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(3125\left( {5\cos x + 5 + m} \right) = {\left( {{{\left( {\cos x + 1} \right)}^5} - m} \right)^5} \Leftrightarrow 5\left( {\cos x + 1} \right) + m = {\left( {\dfrac{{{{\left( {\cos x + 1} \right)}^5} - m}}{5}} \right)^5}\)
Đặt \(\dfrac{{{{\left( {\cos x + 1} \right)}^5} - m}}{5} = y\), ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}5\left( {\cos x + 1} \right) + m = {y^5}\\5y + m = {\left( {\cos x + 1} \right)^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = {\left( {\cos x + 1} \right)^5} - 5y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\5\left( {\cos x + 1} \right) - 5y = {y^5} - {\left( {\cos x + 1} \right)^5}\,\,(2)\end{array} \right.\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {\cos x + 1} \right)^5} + 5\left( {\cos x + 1} \right) = {y^5} + 5y\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^5} + 5t,\,\,f'\left( t \right) = 5{t^4} + 5 > 0,\forall t \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Khi đó:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \cos x + 1 = y\) hay \(y = \cos x + 1\). Thay vào (1): \(m = {\left( {\cos x + 1} \right)^5} - 5\left( {\cos x + 1} \right)\)
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^5} - 5t,\,\left( {t \in \left[ {0;2} \right]} \right),\,\,\,g\left( t \right) = 5{t^4} - 5\), \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
\(g\left( 0 \right) = 0,\,g\left( 1 \right) = - 4,\,\,g\left( 2 \right) = 22 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( t \right) = - 4,\,\,\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( t \right) = 22\)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(m \in \left[ { - 4;22} \right]\), mà \(m \in {\mathbb{Z}^ - } \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\): \(4\) giá trị.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com