Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\sqrt 2 \); \(BC = a\) và \(SA = SB

Câu hỏi số 389755:

Vận dụng

Cho hình chóp \(SABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\sqrt 2 \); \(BC = a\) và \(SA = SB = SC = SD = 2a\). Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên \(AC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(K\) trên \(SA\). Tính cosin góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {BKH} \right)\).\(\)\(\)

A. \(\dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\).

B. \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 8 }}{5}\).

D. \(\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389755

Phương pháp giải

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác để tính góc.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật (tâm \(O\)), \(SA = SB = SC = SD\)\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AC\\BK \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BK \bot SA\).

Mà \(SA \bot HK\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {BHK} \right)\).

\( \Rightarrow SH \bot \left( {BHK} \right)\) \( \Rightarrow HB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {BHK} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {BHK} \right)} \right) = \angle \left( {SB;HB} \right) = \angle SBH\).

Xét tam giác \(SAB\) có: \({\rm{cos}}\angle ASB = \dfrac{{S{A^2} + S{B^2} - AB}}{{2.SA.SB}} = \dfrac{{4{{\rm{a}}^2} + 4{{\rm{a}}^2} - 2{{\rm{a}}^2}}}{{2.2{\rm{a}}.2{\rm{a}}}} = \dfrac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \sin \angle ASB = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4} \Rightarrow \cos \angle SBH = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\) (Do \(\angle ASB < {90^0}\)).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.