Chứng tỏ rằng tổng của \(100\) số hạng đầu của dãy sau nhỏ hơn

Câu hỏi số 390000:

Vận dụng cao

Chứng tỏ rằng tổng của \(100\) số hạng đầu của dãy sau nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\):

\(\frac{1}{5},\,\,\frac{1}{{45}},\,\,\frac{1}{{117}},\,\,\frac{1}{{221}},\,\,\frac{1}{{357}}, \ldots \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390000

Phương pháp giải

+) Xác định dạng tổng quát của dãy số. Suy ra, số hạng thứ \(100\).

+) Tính tổng của \(100\) số hạng đầu tiên.

+) Áp dụng: \(a - c < a\)

Giải chi tiết

Xét mẫu:

\(\begin{array}{l}5 = 1.5 = \left( {4.1 - 3} \right)\left( {4.1 + 1} \right)\\45 = 5.9 = \left( {4.2 - 3} \right)\left( {4.2 + 1} \right)\\117 = 9.13 = \left( {4.3 - 3} \right)\left( {4.3 + 1} \right)\\221 = 13.17 = \left( {4.4 - 3} \right)\left( {4.4 + 1} \right)\\357 = 17.21 = \left( {4.5 - 3} \right)\left( {4.5 + 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Dạng tổng quát với mẫu thứ \(n\) là \(\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)\).

Suy ra, mẫu thứ \(100\) là \(\left( {4.100 - 3} \right)\left( {4.100 + 1} \right) = \left( {400 - 3} \right)\left( {400 + 1} \right) = 397.401\)

Đặt \(S = \frac{1}{{1.5}} + \,\,\frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + \ldots + \frac{1}{{397.401}}\) là tổng của \(100\) số hạng đầu tiên.

\( \Rightarrow 4S = 4 \cdot \left( {\frac{1}{{1.5}} + \,\,\frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + \ldots + \frac{1}{{397.401}}} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\,4S = \frac{4}{{1.5}} + \frac{4}{{5.9}} + \frac{4}{{9.13}} + \ldots + \frac{4}{{397.401}}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{5 - 1}}{{1.5}} + \frac{{9 - 5}}{{5.9}} + \frac{{13 - 9}}{{9.13}} + \ldots + \frac{{401 - 397}}{{397.401}}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{5}{{1.5}} - \frac{1}{{1.5}}} \right) + \left( {\frac{9}{{5.9}} - \frac{5}{{5.9}}} \right) + \left( {\frac{{13}}{{9.13}} - \frac{9}{{9.13}}} \right) + \ldots + \left( {\frac{{401}}{{397.401}} - \frac{{397}}{{397.401}}} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{9}} \right) + \left( {\frac{1}{9} - \frac{1}{{13}}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{397}} - \frac{1}{{401}}} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{13}} + \ldots + \frac{1}{{397}} - \frac{1}{{401}}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{{401}}\)

\( \Rightarrow S = \frac{{1 - \frac{1}{{401}}}}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{{401.4}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{{1604}} < \frac{1}{4}\)

Vậy tổng \(100\) số hạng đầu tiên của dãy trên nhỏ hơn \(\frac{1}{4}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link