Chứng minh rằng: a) \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} -

Câu hỏi số 390059:

Thông hiểu

Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} - \dfrac{1}{{64}} < \dfrac{1}{3}\)

b) \(\dfrac{1}{{41}} + \dfrac{1}{{42}} + \dfrac{1}{{43}} + \ldots + \dfrac{1}{{79}} + \dfrac{1}{{80}} > \dfrac{1}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390059

Phương pháp giải

Giữ nguyên một phân số, còn các phân số sau thay bằng phân số lớn hơn hoặc nhỏ hơn.

Giải chi tiết

a) \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} - \dfrac{1}{{64}} < \dfrac{1}{3}.\)

Đặt \(A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{{32}} - \dfrac{1}{{64}}\)

\(\,\,\,A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} + \dfrac{1}{{{2^5}}} - \dfrac{1}{{{2^6}}}\)

\(2A = 2 \cdot \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} + \dfrac{1}{{{2^5}}} - \dfrac{1}{{{2^6}}}} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^2}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^3}}} - 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^4}}} + 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^5}}} - 2 \cdot \dfrac{1}{{{2^6}}}\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} - \dfrac{1}{{{2^5}}}\)

\( \Rightarrow 2A + A = \left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} - \dfrac{1}{{{2^5}}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} + \dfrac{1}{{{2^5}}} - \dfrac{1}{{{2^6}}}} \right)\)

\( \Rightarrow 3A = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} - \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} - \dfrac{1}{{{2^5}}} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} - \dfrac{1}{{{2^4}}} + \dfrac{1}{{{2^5}}} - \dfrac{1}{{{2^6}}}\)

\( \Rightarrow 3A = 1 - \dfrac{1}{{{2^6}}} = 1 - \dfrac{1}{{32}} = \dfrac{{31}}{{32}}\)

\( \Rightarrow A < \dfrac{{31}}{{96}} < \dfrac{{32}}{{96}} = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow A < \dfrac{1}{3}\) (đpcm)

b) \(\dfrac{1}{{41}} + \dfrac{1}{{42}} + \dfrac{1}{{43}} + .... + \dfrac{1}{{79}} + \dfrac{1}{{80}} > \dfrac{1}{2}.\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\dfrac{1}{{41}} > \dfrac{1}{{80}}\\\dfrac{1}{{42}} > \dfrac{1}{{80}}\\\dfrac{1}{{43}} > \dfrac{1}{{80}}\\ \ldots \\\dfrac{1}{{79}} > \dfrac{1}{{80}}\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{1}{{41}} + \dfrac{1}{{42}} + \dfrac{1}{{43}} + \ldots + \dfrac{1}{{79}} > \dfrac{1}{{80}} + \dfrac{1}{{80}} + \dfrac{1}{{80}} \ldots + \dfrac{1}{{80}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{41}} + \dfrac{1}{{42}} + \dfrac{1}{{43}} + \ldots + \dfrac{1}{{79}} + \dfrac{1}{{80}} > \dfrac{1}{{80}} + \dfrac{1}{{80}} + \dfrac{1}{{80}} \ldots + \dfrac{1}{{80}} + \dfrac{1}{{80}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{41}} + \dfrac{1}{{42}} + \dfrac{1}{{43}} + \ldots + \dfrac{1}{{79}} + \dfrac{1}{{80}} > \dfrac{{40}}{{80}} = \dfrac{1}{2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link