Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a, BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Câu hỏi số 39006:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a $\tiny \sqrt{3}$ , BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng $\tiny \frac{a\sqrt{3}}{4}$ , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

A. $\tiny \frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}$

B. $\tiny \frac{\sqrt{3}a^{3}}{6}$

C. $\tiny \frac{\sqrt{6}a^{3}}{3}$

D. $\tiny \frac{\sqrt{6}a^{3}}{6}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:39006

Giải chi tiết

Từ giả thiết AC = $\tiny 2a\sqrt{3}$ ; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có tam giác AOB vuông tại O và AO = a $\tiny a\sqrt{3}$ ; BO = a, do đó $\tiny \widehat{ABD}= 60^{0}$

Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD).

Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và DH = a $\tiny a\sqrt{3}$ ;

OK // DH và OK = $\tiny \frac{1}{2}$ DH = $\tiny \frac{a\sqrt{3}}{2}$ $\tiny \Rightarrow$ OK ⊥ AB $\tiny \Rightarrow$ AB ⊥ (SOK)

=> (SOK) vuông góc với (SAB); mà $\dpi{80} (SOK)\bigcap (SAB)=SK$

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB⊥ OI $\tiny \Rightarrow$ OI ⊥ (SAB), hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao $\tiny \Rightarrow$ $\frac{1}{OI^{2}}= \frac{1}{OK^{2}}+\frac{1}{SO^{2}}$ $\tiny \Rightarrow$ SO= $\frac{a}{2}$

Diện tích đáy S_ABCD = 4S.∆ABO = 2.OA.OB=2 $\sqrt{3}a^{2}$ ;

đường cao của hình chóp $\tiny SO = \frac{a}{2}$ .

Thể tích khối chóp S.ABCD: $\tiny V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SO=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}$ (đvtt)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.