Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc sao cho cos = . Biết rằng SA = SC = SD, AB = BC = a, AD = 2a. a. Tính thể tích của khối chóp theo a. b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) theo a.

Câu hỏi số 39011:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc $\varphi$ sao cho cos $\varphi$ = $\frac{1}{\sqrt{7}}$ . Biết rằng SA = SC = SD, AB = BC = a, AD = 2a.

a. Tính thể tích của khối chóp theo a.

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) theo a.

A. $V=a^{3}.\frac{\sqrt{3}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{2}{\sqrt{3}}$

B. $V=a^{3}.\frac{\sqrt{5}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{2}{\sqrt{3}}$

C. $V=a^{3}.\frac{\sqrt{5}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{4}{\sqrt{3}}$

D. $V=a^{3}.\frac{\sqrt{5}}{2};\widehat{FKC}=arctan\frac{5}{\sqrt{3}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:39011

Giải chi tiết

Gọi F, E lần lượt là trung điểm của AD, CD; ta có FA = FD = FC, do đó tam giác ACD vuông tại C, có tâm đường tròn ngoại tiếp là F (vuông cân). Vì SA = SD = SC nên SF là đường cao của hình chóp S.ABCD.

Dễ thấy SE và EF đồng thời vuông góc với CD, do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là góc SEF = $\varphi$

Từ giả thiết ta có tan $\varphi$ = √6 = a√3. Như vậy ta có thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V=\frac{1}{3}SF.AB.\frac{AD+BC}{2}=\frac{1}{3}a^{2}\sqrt{3}.\frac{3a}{2}=a^{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}$ (đvtt)

Do AD // BC nên d(SC, AD) = d((SBC), AD) = d(F, (SBC))

Kẻ FH vuông góc với SC ta có:

$\left\{\begin{matrix} BC\perp CF & \\ BC\perp SF & \end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp (SCF)\Rightarrow BC\perp FH$ mà FH $\perp$ (FBC) $\Rightarrow$ d(AD, (SBC)) = FH

Tính FH: $\frac{1}{FH^{2}}=\frac{1}{FS^{2}}+\frac{1}{FC^{2}}=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{4a^{2}}\Rightarrow FH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Dựng FK $\perp$ SD, do CF $\perp$ (SAD) => CF $\perp$ SD => (FKC) $\perp$ SD

do đó goc giữa (SAD) và (SCD) là $\widehat{FKC}$ (vì $\widehat{CFK}=90^{0}$

Ta có FK=FDsin60^0;CF=a $\Rightarrow tan\widehat{FKC}=\frac{CF}{FK}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Vậy $\widehat{FKC}=arctan\frac{2}{\sqrt{3}}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.