Chứng minh rằng luôn luôn tồn tại một số tự nhiên \(n\) để \(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +

Câu hỏi số 390093:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng luôn luôn tồn tại một số tự nhiên \(n\) để \(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} > 1000\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390093

Phương pháp giải

+) Viết các số \(2,\,\,4,\,\,8,\,\,16,\,\,32,\,\,64,...,512\) thành lũy thừa của \(2\) + nhóm hạng tử.

+) So sánh từng nhóm: Giữ nguyên 1 phân số có mẫu là lũy thừa của \(2\), các phân số còn lại so sánh với chính phân số vừa được giữ nguyên.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^k}}} + \ldots + \dfrac{1}{n}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + \dfrac{1}{2} + \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{{{2^3}}}} \right) + \ldots + \dfrac{1}{n}\end{array}\)

\(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{2^2}}} > \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} = \dfrac{1}{{{2^2}}} \cdot 2 = \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{{{2^3}}} > \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^3}}} > \dfrac{4}{{{2^3}}} = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \ldots \\ \Rightarrow 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \ldots + \dfrac{1}{n}\end{array}\)\( > 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} \cdot 2 + \dfrac{1}{{{2^3}}} \cdot {2^2} + \ldots + \dfrac{1}{{{2^k}}} \cdot {2^{k - 1}} + \ldots \)\( = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{2}\)

Để \(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} > 1000\) thì \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{2} > 999\)\( \Rightarrow k.\dfrac{1}{2} > 999\)\( \Rightarrow k > 1998\)

\( \Rightarrow \) Ta có thể chọn \(k = 1999\)\( \Rightarrow n = {2^k} = {2^{1999}}\)

Vậy luôn tại số tự nhiên thỏa mãn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link