Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {x - \sqrt {4x - 4} } + \sqrt {x + \sqrt {4x - 4} } = 2\) được

Câu hỏi số 390947:

Vận dụng

Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {x - \sqrt {4x - 4} } + \sqrt {x + \sqrt {4x - 4} } = 2\) được viết dưới dạng \(S = \left[ {a;\,\,b} \right]\,\,\,\left( {a < b} \right).\) Khi đó ta có \(T = b - a\) bằng:

A. \(T = - 2\)

B. \(T = - 1\)

C. \(T = 1\)

D. \(T = 3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390947

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương trình đã cho xác định.

Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi giải phương trình bằng cách xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Giải chi tiết

\(\sqrt {x - \sqrt {4x - 4} } + \sqrt {x + \sqrt {4x - 4} } = 2\,\,\,\,\left( * \right)\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 4 \ge 0\\x - \sqrt {4x - 4} \ge 0\\x + \sqrt {4x - 4} \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung\,\,\forall x \ge 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge \sqrt {4x - 4} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} \ge 4x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 4x + 4 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| + \sqrt {x - 1} + 1 = 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,\sqrt {x - 1} + 1 > 0\,\,\,\forall x \ge 1} \right)\end{array}\)

TH1: \(\sqrt {x - 1} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \ge 1 \Leftrightarrow x - 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} - 1 + \sqrt {x - 1} + 1 = 2\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 1\\ \Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

TH2: \(\sqrt {x - 1} - 1 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} < 1 \Leftrightarrow 1 \le x < 2\).

\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 - \sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 1} + 1 = 2 \Leftrightarrow 2 = 2\) (luôn đúng).

Do đó phương trình nhận \(1 \le x < 2\) là nghiệm.

Kết hợp các trường hợp ta được tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left[ {1;2} \right].\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = 2 - 1 = 1.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link