Nghiệm của phương trình:\(\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} + \sqrt { - {x^2} + 3x + 4} = 5\)

Câu hỏi số 390948:

Vận dụng cao

Nghiệm của phương trình:\(\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} + \sqrt { - {x^2} + 3x + 4} = 5\) là:

A. \(x = 0\) và \(x = 3\)

B. \(x = 0\) và \(x = - 3\)

C. \(x = 3\)

D. \(x = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390948

Phương pháp giải

Trước tiên, ta tìm điều kiện để biểu thức trong căn có nghĩa.

Tiếp theo, ta phân tích biểu thức trong dấu căn \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 4} \)=\(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} \), rồi đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} \left( {t \ge 0} \right)\).

Khi tìm được giá trị của \(t\) ta thay ngược lại để tìm \(x\).

Giải chi tiết

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\4 - x \ge 0\\ - {x^2} + 3x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \le 4\\ - 1 \le x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 4.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} + \sqrt { - {x^2} + 3x + 4} = 5\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} + \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = 5\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} \left( {t \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = x + 1 + 4 - x + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = \frac{{{t^2} - 5}}{2}\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow t + \frac{{{t^2} - 5}}{2} = 5\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 15 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 - 16 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 1 = 4\\t + 1 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 5\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(t = 3\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} = 3\\ \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} + 4 - x = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} + 3x + 4} = 2\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 3x + 4 = 4\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 3x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {3 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\3 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 0\) và \(x = 3.\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link