Xét khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA\) vuông góc với đáy, khoảng cách từ

Câu hỏi số 391569:

Vận dụng cao

Xét khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA\) vuông góc với đáy, khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(2\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\). Tính \(\cos \alpha \) khi thể tích khối chóp \(S.ABC\) nhỏ nhất.

A. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\).

B. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\).

C. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\cos \alpha = \dfrac{2}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391569

Phương pháp giải

- Xác định khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\) bằng phương pháp kẻ 3 nét.

- Xác định góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính \(SA,\,\,AI\) theo \(\alpha \). Từ đó tính \(AB\) theo \(\alpha \).

- Tính \({S_{ABC}}\) theo \(\alpha \), tính \({V_{S.ABC}}\) theo \(\alpha \).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.

Giải chi tiết

Dựng \(AI \bot BC\) (\(I\) là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều).

Dựng \(AK \bot SI\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot BC\\AK \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = 2\).

Ta có: \(BC \bot \left( {SAI} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BC \bot SI\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SI \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AI \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SI;AI} \right) = \angle SIA = \alpha \).

Dễ nhận thấy \(\angle SAK = \angle SIA = \alpha \) (cùng phụ với \(\angle KAI\)).

Ta có: \(SA = \dfrac{{AK}}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \dfrac{2}{{{\rm{cos}}\alpha }},\,\,AI = \dfrac{{AK}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{2}{{\sin \alpha }}\).

Tam giác \(ABC\) đều

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AI = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \dfrac{{2AI}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 \sin \alpha }}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{\sin \alpha }}.\dfrac{4}{{\sqrt 3 \sin \alpha }} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 {{\sin }^2}\alpha }}\end{array}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:

\(\begin{array}{l}V = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{{{\rm{cos}}\alpha }}.\dfrac{4}{{\sqrt 3 {{\sin }^2}\alpha }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha .{\rm{cos}}\alpha }} = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}.\dfrac{1}{{\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right){\rm{.cos}}\alpha }}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 - {x^2}} \right)x\) với \(x \in \left( {0;1} \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = 1 - 3{x^2}.\)

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}.\)

\( \Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;1} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}\).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối chóp S.ABC đạt GTNN bằng \(\dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}.\dfrac{1}{{\dfrac{{2\sqrt 3 }}{9}}} = 4\) khi và chỉ khi \({\rm{cos}}\alpha = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.