Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = a\) không đổi. Hình nón \(\left( N \right)\) thay
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = a\) không đổi. Hình nón \(\left( N \right)\) thay đổi có đường cao lớn hơn \(R\), có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là \({V_1}\) và thể tích phần còn lại của khối cầu là \({V_2}\). Khi \(\dfrac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \dfrac{{19}}{8}\) thì bán kính của khối nón \(\left( N \right)\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Thể tích của khối cầu có bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).
- Thể tích của khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).
- Dựa vào định lí Pytago tìm mối liên hệ giữa \(R,\,\,r,\,\,h\) để giải bài toán.
- Tính tỉ số thể tích của khối nón và khối cầu.
Thể tích của khối cầu \(\left( S \right)\) là:\(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {a^3}\).
Gọi \(h,\,\,r\) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón đã cho.
Khi đó, thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) là \({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \dfrac{{19}}{8} \Rightarrow {V_2} = \dfrac{{19}}{8}{V_1}.\)
\(\begin{array}{l}V = {V_1} + {V_2} \Leftrightarrow V = {V_1} + \dfrac{{19}}{8}{V_1} \Leftrightarrow {V_1} = \dfrac{8}{{27}}V\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{8}{{27}}.\dfrac{4}{3}\pi {a^3}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {r^2}h = \dfrac{{32}}{{27}}{a^3} \Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{{32{a^3}}}{{27h}}\).
Khối nón \(\left( N \right)\) nội tiếp khối cầu \(\left( S \right)\) mà \(h > R\) nên ta có:
\({\left( {h - R} \right)^2} + {r^2} = {R^2}\) (định lí Pytago)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {h^2} - 2hR + {R^2} + {r^2} = {R^2}\\ \Leftrightarrow {h^2} - 2h.a + {r^2} = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {h^2} - 2h.a + \dfrac{{32{a^3}}}{{27h}} = 0\\ \Leftrightarrow 27{h^3} - 54{h^2}a + 32{a^3} = 0\\ \Leftrightarrow 27{\left( {\dfrac{h}{a}} \right)^3} - 54.{\left( {\dfrac{h}{a}} \right)^2} + 32 = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{h}{a} = - \dfrac{2}{3}\,\,\,\left( {ktm\,\,do\,\,h,\,\,a > 0} \right)\\\dfrac{h}{a} = \dfrac{4}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \dfrac{h}{a} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow h = \dfrac{4}{3}a \Rightarrow r = \dfrac{{2\sqrt 2 a}}{3}.\end{array}\)
Vậy bán kính của hình nón \(\left( N \right)\) là \(r = \dfrac{{2\sqrt 2 a}}{3}\).
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
