Bạn Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam

Câu hỏi số 391744:

Vận dụng

Bạn Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(60\left( {cm} \right)\). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật \(MNPQ\) từ mảnh tôn nguyên liệu (với \(M,N\) thuộc cạnh \(BC\); \(P,Q\) tương ứng thuộc cạnh \(AC\) và \(AB\)) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng \(MQ\). Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn Bình có thể làm được là:

A. \(\dfrac{{8000\sqrt 3 }}{\pi }\left( {c{m^3}} \right)\)

B. \(\dfrac{{6825}}{{4\pi }}\left( {c{m^3}} \right)\)

C. \(\dfrac{{6825}}{{2\pi }}\left( {c{m^3}} \right)\)

D. \(\dfrac{{4000\sqrt 3 }}{\pi }\left( {c{m^3}} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391744

Phương pháp giải

- Đưa độ dài cạnh hình chữ nhật \(MNPQ\) về cùng một biến và tìm điều kiện của biến.

- Hình trụ tạo thành có chiều cao bằng \(MQ\) và chu vi đáy bằng \(MN\).

- Tính thể tích của hình trụ theo biến.

- Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow H\) cũng là trung điểm của \(MN\).

Do \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(60\,\,\left( {cm} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH = HC = 30\left( {cm} \right)\\AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.BC = 30\sqrt 3 \left( {cm} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(BM = x\), do \(BM < BH \Rightarrow 0 < x < 30\), ta có :

\(\begin{array}{l}MH = BH - BM = 30 - x\\ \Rightarrow MN = 2MH = 60 - 2x\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\QM \bot MN \Rightarrow QM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH\parallel QM\)

\( \Rightarrow \dfrac{{QM}}{{AH}} = \dfrac{{BM}}{{BH}} \Leftrightarrow \dfrac{{QM}}{{30\sqrt 3 }} = \dfrac{x}{{30}}\)\( \Leftrightarrow QM = \sqrt 3 x\) (Định lí Ta-lét)

Gọi \(r\) là bán kính đáy của hình trụ được tạo thành.

Hình trụ được tạo thành có chiều cao bằng \(MQ = \sqrt 3 x\) và chu vi đáy bằng \(MN\) nên :

\(2\pi r = MN \Leftrightarrow 2\pi r = 60 - 2x \Leftrightarrow r = \dfrac{{30 - x}}{\pi }\)

Thể tích của hình trụ được tạo thành từ hình chữ nhật \(MNPQ\) là :

\(\begin{array}{l}V = \pi {r^2}.MQ = \pi .{\left( {\dfrac{{30 - x}}{\pi }} \right)^2}.\sqrt 3 x\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 x\left( {900 - 60x + {x^2}} \right)}}{\pi }\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 }}{\pi }\left( {{x^3} - 60{x^2} + 900x} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 60{x^2} + 900x\) trên khoảng \(\left( {0;30} \right)\) ta có :

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - 120x + 900\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 10\end{array}\)

Ta có BBT như sau :

Từ BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;30} \right)} f\left( x \right) = f\left( {10} \right) = 4000\).

Do đó, thể tích lớn nhất của hình trụ tạo được là \(\dfrac{{4000\sqrt 3 }}{\pi }\,\,\,\left( {c{m^3}} \right).\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.