Số các nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 của bất phương trình \({\log _2}\left( {16x} \right) + 5{\log

Câu hỏi số 391749:

Vận dụng

Số các nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 của bất phương trình \({\log _2}\left( {16x} \right) + 5{\log _{\frac{x}{4}}}2 \ge 0\) là:

A. \(2015\)

B. \(2018\)

C. \(2017\)

D. \(2016\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391749

Phương pháp giải

- Biến đổi bất phương trình đã cho, đưa về cùng một biến số qua các công thức về hàm logarit: \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\), \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

- Giải bất phương trình logarit cơ bản: \({\log _a}x < b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)\), \({\log _a}x < b \Leftrightarrow x > {a^b}\,\,\left( {0 < a < 1} \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}\).

Ta có : \(\)

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {16x} \right) + 5{\log _{\frac{x}{4}}}2 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\log _2}16 + {\log _2}x + \dfrac{5}{{{{\log }_2}\frac{x}{4}}} \ge 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 + {\log _2}x + \dfrac{5}{{{{\log }_2}x - {{\log }_2}4}} \ge 0\\ \Leftrightarrow 4 + {\log _2}x + \dfrac{5}{{{{\log }_2}x - 2}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{{\log }_2}x + 4} \right)\left( {{{\log }_2}x - 2} \right) + 5}}{{{{\log }_2}x - 2}} \ge 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\log _2^2x + 2{{\log }_2}x - 3}}{{{{\log }_2}x - 2}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)\left( {{{\log }_2}x + 3} \right)}}{{{{\log }_2}x - 2}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x > 2\\ - 3 \le {\log _2}x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\\dfrac{1}{8} \le x \le 2\end{array} \right..\end{array}\)

Suy ra các nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 của BPT đã cho là : \(S = \left\{ {1;2;5;6;7;8;....2018} \right\}\), có 2016 phần tử.

Vậy bất phương trình đã cho có 2016 nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.