Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B'C\) bằng
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B'C\) bằng \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(AB'\) bằng \(\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BD'\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Tính thể tích khối hộp chữ nhật đã cho.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là khoảng cách từ 1 điểm trên \(d\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(d'\) và song song với \(d\).
Tính cách kích thước của hình hộp chữ nhật qua các khoảng cách giữa 2 đường thẳng đã cho.
Đặt \(AA' = x;\,\,AB = y;\,\,AD = z\)
Qua \(B\), kẻ \(BH \bot B'C\left( {H \in B'C} \right),\,\,BK \bot AB'\left( {K \in AB'} \right)\)
Ta thấy \(BH\) là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng \(AB\) và \(B'C\) nên \(BH = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
\(BK\) là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng \(BC\) và \(AB'\) nên \(BK = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)
Do đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{B{C^2}}} + \dfrac{1}{{BB{'^2}}}\\\dfrac{1}{{B{K^2}}} = \dfrac{1}{{BB{'^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\\\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\end{array} \right.\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(DD'\), \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) hay \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(BD\).
Ta có: \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(BD'D\) nên \(OM//BD'\)
Do đó, \(d\left( {AC;BD'} \right) = d\left( {BD';\left( {MAC} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {MAC} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {MAC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Tứ diện \(D.AMC\) có 3 cạnh \(DA,DC,DM\) đôi một vuông góc nên
\(\dfrac{1}{{{d^2}\left( {D;\left( {AMC} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{{D{A^2}}} + \dfrac{1}{{D{C^2}}} + \dfrac{1}{{D{M^2}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 a}}{3}} \right)}^2}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\)
Do đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\\\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}\\\dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}}\\\dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}}\\\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2a\\y = a\\z = a\end{array} \right.\)
Vậy thể tích của hình hộp đã cho là: \(V = xyz = 2{a^3}\).
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
