Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x +

Câu hỏi số 391798:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0.\)

A. \(m\ge -1\)

B. \(m\le -1\)

C. \(m\ne -1\)

D. \(m > -1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391798

Giải chi tiết

\({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 0\).

Điều kiện xác định: \(x \ge 0.\)

Bất phương trình tương đương với: \({x^2} + 6x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 2mx\,\,\,\left( 1 \right).\)

Với \(x = 0,\,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 \ge 0,\) luôn đúng với mọi \(m.\)

Với \(x > 0,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}} \ge 2m.\)

Đặt \(\sqrt {2\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} = t,\,\,\,x > 0 \Rightarrow t \ge 2\) (theo AM-GM).

\( \Rightarrow x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}} = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 6\) \( = \frac{1}{2}\left( {{t^2} - 8t} \right) + 6 = \frac{1}{2}{\left( {t - 4} \right)^2} - 2 \ge - 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t = 4 \Leftrightarrow 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 16\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \frac{2}{x} - 16 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 16x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 + \sqrt {15} \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4 - \sqrt {15} \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}} \ge - 2,\forall x > 0.\)

Vậy để bất phương trình \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 0\) đúng với mọi \(x \ge 0\) thì \(2m \le - 2 \Leftrightarrow m \le - 1.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.