Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0.\)

Câu 391798: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0.\)

A. \(m\ge -1\)

B. \(m\le -1\)

C. \(m\ne -1\)

D. \(m > -1\)

Câu hỏi : 391798

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 0\).

Điều kiện xác định: \(x \ge 0.\)

Bất phương trình tương đương với: \({x^2} + 6x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 2mx\,\,\,\left( 1 \right).\)

Với \(x = 0,\,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 \ge 0,\) luôn đúng với mọi \(m.\)

Với \(x > 0,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}} \ge 2m.\)

Đặt \(\sqrt {2\left( {x + \frac{1}{x}} \right)} = t,\,\,\,x > 0 \Rightarrow t \ge 2\) (theo AM-GM).

\( \Rightarrow x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}} = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 6\) \( = \frac{1}{2}\left( {{t^2} - 8t} \right) + 6 = \frac{1}{2}{\left( {t - 4} \right)^2} - 2 \ge - 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t = 4 \Leftrightarrow 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 16\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \frac{2}{x} - 16 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 16x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 + \sqrt {15} \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4 - \sqrt {15} \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(x + 6 + \frac{1}{x} - 4\sqrt {2x + \frac{2}{x}} \ge - 2,\forall x > 0.\)

Vậy để bất phương trình \({x^2} + 2\left( {3 - m} \right)x + 1 - 4\sqrt {2{x^3} + 2x} \ge 0\) đúng với mọi \(x \ge 0\) thì \(2m \le - 2 \Leftrightarrow m \le - 1.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.