Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,\,SD\).
Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Mà \(AM \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(BC \bot AM\).
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AB \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại \(A\).
Lại có \(SA = AB = a\) nên \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(A\).
\( \Rightarrow \) Trung tuyến \(AM\) đồng thời là đường cao \( \Rightarrow AM \bot SB\).
Lại có \(AM \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\).
Vậy \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Xét \(\left( {AMN} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) có \(A\) là điểm chung, lại có \(MN\parallel BD\) (do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\)) nên \(\left( {AMN} \right) \cap \left( {SBD} \right) = d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và song song \(MN,\,\,BD\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC \bot BD\) tại \(O\).
Mà \(BD\parallel d\) nên \(AC \bot d \Rightarrow AO \bot d\).
Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(E = SO \cap MN\).
Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(E\) là trung điểm của \(MN\).
Ta có: \(AM = \dfrac{1}{2}SB,\,\,AN = \dfrac{1}{2}SD\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Mà \(SB = SD\) (do \(\Delta SAB = \Delta SAD\)) nên \(AM = AN\).
\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A\), do đó \(AE \bot MN\).
Mà \(MN\parallel d\) nên \(AE \bot d\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = d\\\left( {AMN} \right) \supset AE \bot d\\\left( {ABCD} \right) \supset AO \bot d\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {AMN} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {AE;AO} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAO\) ta có: \(SO = \sqrt {S{A^2} + O{A^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
\( \Rightarrow OE = AE = \dfrac{1}{2}SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAE\) ta có:
\(\begin{array}{l}\cos \angle OAE = \dfrac{{O{A^2} + A{E^2} - O{E^2}}}{{2OA.AE}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{3{a^2}}}{8} - \dfrac{{3{a^2}}}{8}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle OAE54,{74^0}\).
Vậy \(\alpha = \angle \left( {\left( {AMN} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) \approx 54,{74^0}\).
Quảng cáo
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
