Hàm số \(y = \frac{9}{x} + \frac{4}{{2 - x}}\) với \(0 < x < 2\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x =

Câu hỏi số 393556:

Vận dụng cao

Hàm số \(y = \frac{9}{x} + \frac{4}{{2 - x}}\) với \(0 < x < 2\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{a}{b}\) (\(a,b\) nguyên dương, phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản). Khi đó \(a + b\) bằng

A. \(9.\)

B. \(13.\)

C. \(11.\)

D. \(7.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393556

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwazr dạng Engel hay bất đẳng thức Schwarz: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\left( {a,b,x,y > 0} \right)\).

Giải chi tiết

Với \(0 < x < 2.\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\left( {a,b,x,y > 0} \right),\) dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}.\)

\(y = \frac{9}{x} + \frac{4}{{2 - x}} = \frac{{{3^2}}}{x} + \frac{{{2^2}}}{{2 - x}} \ge \frac{{{{\left( {3 + 2} \right)}^2}}}{{x + 2 - x}} = \frac{{25}}{2}.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{3}{x} = \frac{2}{{2 - x}} \Leftrightarrow 6 - 3x = 2x \Leftrightarrow x = \frac{6}{5} \Rightarrow a = 6,b = 5.\)

Vậy \(a + b = 11.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10