Hàm số \(y = \frac{9}{x} + \frac{4}{{2 - x}}\) với \(0 < x < 2\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x =

Câu hỏi số 393556:

Vận dụng cao

Hàm số \(y = \frac{9}{x} + \frac{4}{{2 - x}}\) với \(0 < x < 2\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{a}{b}\) (\(a,b\) nguyên dương, phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản). Khi đó \(a + b\) bằng

A. \(9.\)

B. \(13.\)

C. \(11.\)

D. \(7.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393556

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwazr dạng Engel hay bất đẳng thức Schwarz: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\left( {a,b,x,y > 0} \right)\).

Giải chi tiết

Với \(0 < x < 2.\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\left( {a,b,x,y > 0} \right),\) dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}.\)

\(y = \frac{9}{x} + \frac{4}{{2 - x}} = \frac{{{3^2}}}{x} + \frac{{{2^2}}}{{2 - x}} \ge \frac{{{{\left( {3 + 2} \right)}^2}}}{{x + 2 - x}} = \frac{{25}}{2}.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{3}{x} = \frac{2}{{2 - x}} \Leftrightarrow 6 - 3x = 2x \Leftrightarrow x = \frac{6}{5} \Rightarrow a = 6,b = 5.\)

Vậy \(a + b = 11.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.