Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} \) ta được kết quả \(I =

Câu hỏi số 394062:

Vận dụng

Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} \) ta được kết quả \(I = \dfrac{a}{{\ln b}}\) (với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương). Khi đó \(J = \int\limits_a^b {\left| {2x - 3} \right|dx} \) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac{3}{2}\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394062

Phương pháp giải

- Xét dấu biểu thức \({2^x} - {2^{ - x}}\) sau đó chia các khoảng để phá trị tuyệt đối.

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

Giải chi tiết

Ta có: \({2^x} - {2^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow {2^x} - \dfrac{1}{{{2^x}}} = 0\) \( \Leftrightarrow {2^{2x}} - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {{2^x} - {2^{ - x}}} \right|dx} \\\,\,\,\, = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)dx} } \right|\\\,\,\,\, = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{2^{ - x}}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_0^1} \right|\\\,\,\,\, = \left| {\left( {\dfrac{1}{{\ln 2}} + \dfrac{1}{{\ln 2}} - \dfrac{1}{{2\ln 2}} - \dfrac{2}{{\ln 2}}} \right)} \right| + \left| {\left( {\dfrac{2}{{\ln 2}} + \dfrac{1}{{2\ln 2}} - \dfrac{1}{{\ln 2}} - \dfrac{1}{{\ln 2}}} \right)} \right|\\\,\,\,\, = \left| { - \dfrac{1}{{2\ln 2}}} \right| + \left| {\dfrac{1}{{2\ln 2}}} \right|\\\,\,\, = \dfrac{1}{{2\ln 2}} + \dfrac{1}{{2\ln 2}} = \dfrac{1}{{\ln 2}}\\ \Rightarrow a = 1,\,\,b = 2\end{array}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}J = \int\limits_a^b {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left| {2x - 3} \right|dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_1^{\dfrac{3}{2}} {\left| {2x - 3} \right|dx} + \int\limits_{\dfrac{3}{2}}^2 {\left| {2x - 3} \right|dx} \\\,\,\,\, = - \int\limits_1^{\dfrac{3}{2}} {\left( {2x - 3} \right)dx} + \int\limits_{\dfrac{3}{2}}^2 {\left( {2x - 3} \right)dx} \\\,\,\,\, = - \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_1^{\dfrac{3}{2}} + \left. {\left( {{x^2} - 3x} \right)} \right|_{\dfrac{3}{2}}^2\\\,\,\,\, = - \left( { - \dfrac{9}{4} + 2} \right) + \left( { - 2 + \dfrac{9}{4}} \right) = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.