Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến

Câu hỏi số 396961:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \(AB,\,\,\,AC\) với đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\), \(K\) là trung điểm của \(HB\). Đường thẳng \(AK\)cắt đường tròn tại \(M\) và \(N\) (\(M\) nằm giữa \(A\) và \(N\)). Kẻ \(OI\) vuông góc với \(MN\) (\(I\)thuộc \(MN\)). Chứng minh:

a) Tứ giác \(OHKI\)nội tiếp

b) \(A{B^2} = AM.AN\). Từ đó suy ra \(A{B^2} + I{M^2} = A{I^2}\).

c) \(CI = 3BI\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396961

Phương pháp giải

a) Tứ giác nội tiếp khi có tổng hai góc đói diện bằng \({180^0}.\)

b) Chứng minh \(\Delta AMB\) ~ \(\Delta ABN\)rồi

Giải chi tiết

a) Tứ giác \(OHKI\)nội tiếp.

Ta có \(AB,\,\,AC\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(A.\)

\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}.\)

\( \Rightarrow \angle OHK = {90^0}.\)

Lại có \(OI \bot MI = \left\{ I \right\} \Rightarrow \angle KIO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(OHKI\) ta có:

\(\angle OIK + \angle KHO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow OHKI\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb).

b) \(A{B^2} = AM.AN\). Từ đó suy ra \(A{B^2} + I{M^2} = A{I^2}\).

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta ABN\) có:

\(\angle BAM\,\,\,chung\)

\(\angle BNM = \angle MBA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BM\))

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{I^2} - I{M^2} = \left( {AI + IM} \right).\left( {AI - IM} \right) = AN.AM = A{B^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + I{M^2} = A{I^2}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Vậy \(A{B^2} = AM.AN\) và \(A{B^2} + I{M^2} = A{I^2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link