Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \(AB,\,\,\,AC\) với đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\), \(K\) là trung điểm của \(HB\). Đường thẳng \(AK\)cắt đường tròn tại \(M\) và \(N\) (\(M\) nằm giữa \(A\) và \(N\)). Kẻ \(OI\) vuông góc với \(MN\) (\(I\)thuộc \(MN\)). Chứng minh:
a) Tứ giác \(OHKI\)nội tiếp
b) \(A{B^2} = AM.AN\). Từ đó suy ra \(A{B^2} + I{M^2} = A{I^2}\).
c) \(CI = 3BI\).
Quảng cáo
a) Tứ giác nội tiếp khi có tổng hai góc đói diện bằng \({180^0}.\)
b) Chứng minh \(\Delta AMB\) ~ \(\Delta ABN\)rồi
a) Tứ giác \(OHKI\)nội tiếp.
Ta có \(AB,\,\,AC\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(A.\)
\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}.\)
\( \Rightarrow \angle OHK = {90^0}.\)
Lại có \(OI \bot MI = \left\{ I \right\} \Rightarrow \angle KIO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(OHKI\) ta có:
\(\angle OIK + \angle KHO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow OHKI\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb).
b) \(A{B^2} = AM.AN\). Từ đó suy ra \(A{B^2} + I{M^2} = A{I^2}\).
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta ABN\) có:
\(\angle BAM\,\,\,chung\)
\(\angle BNM = \angle MBA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BM\))
Ta có:
\(\begin{array}{l}A{I^2} - I{M^2} = \left( {AI + IM} \right).\left( {AI - IM} \right) = AN.AM = A{B^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + I{M^2} = A{I^2}\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
Vậy \(A{B^2} = AM.AN\) và \(A{B^2} + I{M^2} = A{I^2}\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
